No planejamento de um ambiente, um critério comum é que se ajuste a 95 \% da população. Qual altura de cabine de aviăo permitirá que 95 \% dos homens fiquem em pé sem bater a cabeça no teto? Suponha que as alturas dos homens sejam normalmente distribuídas, com média de 69,5 polegadas (176,53 \mathrm{~cm}) e desvio padrão de 2,4 polegadas (6,096 \mathrm{~cm}).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura da cabine que permita que 95\% dos homens fiquem em pé sem bater a cabeça no teto.
Informações fornecidas:
  • A altura dos homens é aproximadamente normal com média \mu = 69,5 polegadas (176,53\\ \mathrm{cm}).
  • Desvio padrão \sigma = 2,4 polegadas (6,096\\ \mathrm{cm}).
  • Queremos a altura correspondente ao percentil de 95\% da distribuição (ou seja, um valor tal que 95\% das alturas são menores ou iguais a ele).

Passo 2

Entendendo o que é necessário (aula rápida e prática)
  • A distribuição normal tem a propriedade de que cada valor x pode ser transformado num escore-z padrão pela fórmula
z = \frac{x-\mu}{\sigma},
onde:
  • \mu é a média da população,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • z é o número de desvios-padrão que x está acima (ou abaixo, se negativo) da média.
  • Para achar o percentil p (por exemplo p=0{,}95), usa-se o valor crítico z_p da normal padrão tal que \Pr(Z \le z_p) = p. Então o valor na escala original é dado por
x_p = \mu + z_p \sigma.
Isto é direto: rearranja a fórmula do z para obter x.

Passo 3

Achar o z correspondente a 95\%
  • Pelo uso de tabela da normal padrão ou função inversa da normal, o valor que satisfaz \Pr(Z \le z_{0,95}) = 0{,}95 é aproximadamente z_{0,95} = 1,645.
  • (Comentário prático: algumas tabelas dão 1,64 ou 1,645; 1,645 é o valor mais usado para um único lado com 95\%.)

Passo 4

Calcular o percentil na unidade polegadas (passo a passo, sem calculadora complicada)
  • Usamos a fórmula \displaystyle x_{0,95} = \mu + z_{0,95}\sigma.
  • Substituindo os números:
x_{0,95} = 69,5 + 1,645 \times 2,4.
  • Calcule 1,645\times 2,4 manualmente:
    • 1,645\times 2 = 3,290,
    • 1,645\times 0,4 = 0,658,
    • somando: 3,290 + 0,658 = 3,948.
  • Portanto
x_{0,95} = 69,5 + 3,948 = 73,448\\ \text{polegadas}.
  • Arredondando razoavelmente para duas casas decimais: 73,45 polegadas.

Passo 5

Converter para centímetros (passo a passo)
  • Fator de conversão: 1 polegada = 2,54\\ \mathrm{cm}.
  • Converter 73,448 polegadas:
73,448 \times 2,54 = 186,55792\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando para duas casas decimais: 186,56\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática
  • Conclusão: uma cabine com altura interna igual ao percentil 95\% das alturas masculinas deve ter pelo menos \approx 73,45 polegadas (\approx 186,56\\ \mathrm{cm}).
  • Dica de engenharia/prática: em projeto costuma-se arredondar para cima uma quantidade pequena para fornecer folga adicional (por exemplo, escolher 74 polegadas ou mais), porque medidas reais, sapatos, penteados e tolerâncias construtivas pedem um pouco de margem de segurança. Você pode mencionar isso se for relevante na prova ou no projeto.

Resposta

73,45\\ \text{polegadas} \approx 186,56\\ \mathrm{cm}

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