No projeto de elevadores, considera-se a capacidade de carga. A capacidade de um elevador é de 16 passageiros e 2.500 libras. Vamos supor um cenário de um elevador de um dormitório masculino, no qual todos os passageiros são homens. Se o elevador é classificado para uma capacidade de 2500 libras com 16 homens, o peso médio de um passageiro é 156,25 libras.
Peso homens:
Média 182,9 libras
Desvio padrão 40,8 libras
Distribuição normal
a) Ache a probabilidade de um adulto homem selecionado aleatoriamente tenha peso superior a 156,25 libras.
b) Ache a probabilidade de uma amostra de 16 homens selecionados aleatoriamente que tenha peso médio superior a 156,25 libras (de modo que o peso total dos passageiros excede a capacidade máxima de 2.500 libras).
Média 182,9 libras
Desvio padrão 40,8 libras
Distribuição normal
a) Ache a probabilidade de um adulto homem selecionado aleatoriamente tenha peso superior a 156,25 libras.
b) Ache a probabilidade de uma amostra de 16 homens selecionados aleatoriamente que tenha peso médio superior a 156,25 libras (de modo que o peso total dos passageiros excede a capacidade máxima de 2.500 libras).
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Peso médio da população de homens:
libras. - Desvio padrão da população:
libras. - Distribuição do peso: normal.
- Capacidade do elevador:
libras com passageiros, ou seja, peso médio crítico por passageiro libras. - Tamanho da amostra para a parte (b):
.
- Peso médio da população de homens:
-
Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de um homem adulto selecionado aleatoriamente pesar mais quelibras?
(b) Qual a probabilidade de que a média de uma amostra dehomens selecionados aleatoriamente seja maior que libras (o que implica que o total excede libras)?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática breve).
- Distribuição Normal: Se uma variável
tem distribuição normal com média e desvio padrão , escreve-se . Para calcular probabilidades usamos o escore padronizado (z-score), que transforma numa normal padrão . - Z-score para uma observação individual:
A probabilidade
vira
, e consultamos a tabela da normal padrão (função de distribuição
).
- Distribuição da média amostral
: se a população é normal, a média amostral tem exatamente distribuição normal com média e desvio padrão (erro-padrão)
Então usamos o z-score para a média:
- Observação útil sobre simetria: para
, . Isso facilita cálculos quando o z-score é negativo.
Passo 3
Parte (a): montar o problema para um único homem.
- Queremos
com . - Calculamos o z-score:
Passo 4
Parte (a): cálculo numérico do z-score e da probabilidade.
- Primeiro calcular a diferença:
- Agora o z-score:
- Então
onde no último passo usamos a simetria da normal padrão.
- Consultando a tabela da normal padrão (ou usando aproximação por interpolação), obtemos
- Interpretação curta: um homem aleatório tem cerca de
de chance de pesar mais que libras — faz sentido porque a média da população ( ) é bem maior que .
Passo 5
Parte (b): montar o problema para a média de
.
- A média amostral
tem média e desvio padrão
- Queremos
. Vamos padronizar:
Passo 6
Parte (b): cálculo numérico do z-score para a média e da probabilidade.
- Diferença:
- Z-score:
- Então
- Consultando a tabela da normal padrão (ou interpolando), obtemos
- Interpretação curta: a probabilidade de que a média de 16 homens seja maior que
libras é cerca de . Isso explica que, embora o valor limite seja baixo em relação à média populacional, em amostras de tamanho a média tende a ficar bem próxima da média populacional (erro-padrão pequeno), tornando muito provável que a média amostral exceda esse limite.
Passo 7
Resumo interpretativo e dica para prova (curta, didática e motivadora).
- Para (a) usa-se o z-score com
(observação individual). - Para (b) usa-se o z-score com
(média amostral). Note que como a população é normal, não é preciso approximar pelo Teorema do Limite Central — a média já é exatamente normal. - Dica prática para a prova: calcule sempre primeiro a diferença
, depois divida por (ou ). Verifique o sinal do z; use simetria para transformar em quando for conveniente. Respira fundo — você consegue!