No projeto de elevadores, considera-se a capacidade de carga. A capacidade de um elevador é de 16 passageiros e 2.500 libras. Vamos supor um cenário de um elevador de um dormitório masculino, no qual todos os passageiros são homens. Se o elevador é classificado para uma capacidade de 2500 libras com 16 homens, o peso médio de um passageiro é 156,25 libras.
Peso homens:
Média 182,9 libras
Desvio padrão 40,8 libras
Distribuição normal
a) Ache a probabilidade de um adulto homem selecionado aleatoriamente tenha peso superior a 156,25 libras.
b) Ache a probabilidade de uma amostra de 16 homens selecionados aleatoriamente que tenha peso médio superior a 156,25 libras (de modo que o peso total dos passageiros excede a capacidade máxima de 2.500 libras).

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Peso médio da população de homens: \mu=182,9 libras.
    • Desvio padrão da população: \sigma=40,8 libras.
    • Distribuição do peso: normal.
    • Capacidade do elevador: 2500 libras com 16 passageiros, ou seja, peso médio crítico por passageiro = \dfrac{2500}{16}=156,25 libras.
    • Tamanho da amostra para a parte (b): n=16.
  • Perguntas:
    (a) Qual a probabilidade de um homem adulto selecionado aleatoriamente pesar mais que 156,25 libras?
    (b) Qual a probabilidade de que a média de uma amostra de 16 homens selecionados aleatoriamente seja maior que 156,25 libras (o que implica que o total excede 2500 libras)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática breve).
  • Distribuição Normal: Se uma variável X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escreve-se X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades usamos o escore padronizado (z-score), que transforma X numa normal padrão Z\sim N(0,1).
  • Z-score para uma observação individual:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
A probabilidade P(X>a) vira P\!\left(Z>\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right), e consultamos a tabela da normal padrão (função de distribuição \Phi).
  • Distribuição da média amostral \bar{X}: se a população é normal, a média amostral tem exatamente distribuição normal com média \mu_{\bar{X}}=\mu e desvio padrão (erro-padrão)
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Então usamos o z-score para a média:
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.
  • Observação útil sobre simetria: para z<0, 1-\Phi(z)=\Phi(-z). Isso facilita cálculos quando o z-score é negativo.

Passo 3

Parte (a): montar o problema para um único homem.
  • Queremos P(X>156,25) com X\sim N(182,9,\,40,8^2).
  • Calculamos o z-score:
Z=\frac{156,25-182,9}{40,8}.

Passo 4

Parte (a): cálculo numérico do z-score e da probabilidade.
  • Primeiro calcular a diferença:
156,25-182,9=-26,65.
  • Agora o z-score:
Z=\frac{-26,65}{40,8}\approx-0,6532.
  • Então
P(X>156,25)=P\!\left(Z>-0,6532\right)=1-\Phi(-0,6532)=\Phi(0,6532),
onde no último passo usamos a simetria da normal padrão.
  • Consultando a tabela da normal padrão (ou usando aproximação por interpolação), obtemos
\Phi(0,6532)\approx 0,7432.
  • Interpretação curta: um homem aleatório tem cerca de 74{,}32\% de chance de pesar mais que 156,25 libras — faz sentido porque a média da população ( 182{,}9) é bem maior que 156{,}25.

Passo 5

Parte (b): montar o problema para a média de n=16.
  • A média amostral \bar{X} tem média \mu_{\bar{X}}=\mu=182,9 e desvio padrão
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{40,8}{\sqrt{16}}=\frac{40,8}{4}=10,2.
  • Queremos P\!\left(\bar{X}>156,25\right). Vamos padronizar:
Z=\frac{156,25-182,9}{10,2}.

Passo 6

Parte (b): cálculo numérico do z-score para a média e da probabilidade.
  • Diferença:
156,25-182,9=-26,65.
  • Z-score:
Z=\frac{-26,65}{10,2}\approx-2,6147.
  • Então
P\!\left(\bar{X}>156,25\right)=P(Z>-2,6147)=1-\Phi(-2,6147)=\Phi(2,6147).
  • Consultando a tabela da normal padrão (ou interpolando), obtemos
\Phi(2,6147)\approx 0,9955.
  • Interpretação curta: a probabilidade de que a média de 16 homens seja maior que 156,25 libras é cerca de 99{,}55\%. Isso explica que, embora o valor limite 156{,}25 seja baixo em relação à média populacional, em amostras de tamanho 16 a média tende a ficar bem próxima da média populacional (erro-padrão pequeno), tornando muito provável que a média amostral exceda esse limite.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica para prova (curta, didática e motivadora).
  • Para (a) usa-se o z-score com \sigma (observação individual).
  • Para (b) usa-se o z-score com \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n} (média amostral). Note que como a população é normal, não é preciso approximar pelo Teorema do Limite Central — a média já é exatamente normal.
  • Dica prática para a prova: calcule sempre primeiro a diferença a-\mu, depois divida por \sigma (ou \sigma/\sqrt{n}). Verifique o sinal do z; use simetria para transformar 1-\Phi(z) em \Phi(-z) quando for conveniente. Respira fundo — você consegue!

Resposta

P(X>156,25)\approx 0,7432
P(\bar{X}>156,25)\approx 0,9955

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