Exercício 46. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(x, y, z) e S é parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, com vetor normal n apontando para o “exterior” (com a terceira coordenadas positiva).
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de fluxo
\iint_{S} (F\cdot n)\,d s,
onde F(x,y,z)=(x,y,z) e S é a parte do plano x+y+z=1 que fica no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0). Foi dito também que o vetor normal n deve apontar para o “exterior” e ter terceira coordenada positiva (isto é, o normal tem componente z>0).\n
Informações relevantes: \;F(x,y,z)=(x,y,z). \;S:\;x+y+z=1 restrito a x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0. Normal com terceira componente positiva. A pergunta é apenas calcular o valor numérico do fluxo \iint_{S}(F\cdot n)\,d s.
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática): se eu parametrizo uma superfície S por um parâmetro (u,v)\mapsto r(u,v), então o elemento de superfície orientado é o vetor
d\mathbf{S}= (r_u\times r_v)\,du\,dv.
Aqui r_u e r_v são as derivadas parciais de r e o produto vetorial r_u\times r_v fornece um vetor cuja direção dá a orientação da superfície e cujo módulo |r_u\times r_v| é a “escala” que transforma uma área infinitesimal no domínio (u,v) na área correspondente na superfície. Assim o fluxo de F através de S é
\iint_{S} F\cdot n\,d s = \iint_{D} F(r(u,v))\cdot \big(r_u\times r_v\big)\,du\,dv,
onde D é a região em (u,v) que parametriza S. Essa fórmula usa o vetor não normalizado r_u\times r_v; não preciso normalizar porque o produto já dá o produto n\,d s.
Passo 3
Parametrização escolhida (explicação do porquê): o plano é dado por z=1-x-y. Posso parametrizar S usando as coordenadas x,y como parâmetros:
r(x,y) = (x,\;y,\;1-x-y).
O domínio D em termos de (x,y) é o triângulo no primeiro quadrante limitado por x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1. Em notação:
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
Essa parametrização cobre exatamente a parte do plano pedida (primeiro octante) e é simples de manipular.
Passo 4
Calcular r_x, r_y e o produto vetorial (passo a passo): primeiro as derivadas parciais
r_x = (1,\;0,\;-1),\qquad r_y=(0,\;1,\;-1).
Agora o produto vetorial r_x\times r_y. Faço pelo determinante das componentes:
Observação importante: a terceira componente do vetor r_x\times r_y é 1>0, então essa orientação coincide com a exigida (normal com componente z positiva). Portanto posso usar diretamente r_x\times r_y=(1,1,1) como o vetor n\,d s na integral parametrizada.
Passo 5
Avaliar o integrando F(r(x,y))\cdot (r_x\times r_y) e integrar sobre D (contas detalhadas): primeiro F na parametrização:
F(r(x,y)) = (x,\;y,\;1-x-y).
O produto escalar com r_x\times r_y=(1,1,1) é
F(r(x,y))\cdot (r_x\times r_y) = x + y + (1-x-y) = 1.
Surpresa agradável: o integrando simplifica para a constante 1. Então a integral de fluxo fica simplesmente a integral da função 1 sobre o domínio D:
\iint_{S} (F\cdot n)\,d s = \iint_{D} 1 \,dA.
Ou seja, o fluxo é igual à área da região D. Calculo a área de D explicitamente via integral iterada:
Alternativamente, pode-se ver geometricamente que D é um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1, então a área é \tfrac{1}{2}\cdot1\cdot1=\tfrac{1}{2}, mesma resposta.