Exercício 47. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(x, y, z) e S a superfície |x|+|y|+|z|=1 no primeiro octante, com vetor normal n apontando para o exterior.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície S dada por |x|+|y|+|z|=1 no primeiro octante, com o vetor normal n apontando para o exterior. Informações relevantes dadas:
A superfície S no primeiro octante é a face triangular do octaedro definida pela equação \;x+y+z=1\; com \;x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0.
O campo vetorial é F(x,y,z)=(x,y,z).
Queremos calcular \displaystyle \iint_{S}(F\cdot n)\,d s, onde n é o vetor normal unitário apontando para fora do sólido (fora do octaedro).
Passo 2
Estratégia: parametrizar a face triangular por coordenadas (x,y) no triângulo projetado no plano z=0, calcular o vetor normal orientado com o produto vetorial das derivadas da parametrização e usar a fórmula de integral de superfície
onde r(x,y) é a parametrização da superfície, r_x e r_y são as derivadas parciais e D é a região de parâmetros. Explicação da fórmula: r_x\times r_y é um vetor ortogonal à superfície cujo módulo é igual à área do elemento de superfície projetado; o produto escalar F\cdot(r_x\times r_y) já incorpora a orientação (sinal) desejada.
Passo 3
Parametrização da face triangular. Como a face é o plano \;x+y+z=1\;, podemos escrever z=1-x-y. Tomamos a parametrização
r(x,y) = (x,y,1-x-y).
Aqui as variáveis de parâmetro x e y variam no triângulo
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
Observação: essa parametrização é válida porque a face não é vertical em relação ao plano xy, então toda a face é obtida variando (x,y) em D.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais r_x e r_y:
r_x=(1,0,-1),\qquad r_y=(0,1,-1).
Agora calculamos o produto vetorial r_x\times r_y. Usamos o determinante da matriz formada pelos vetores padrão:
Interpretação: r_x\times r_y=(1,1,1) é um vetor normal à face. Seu sentido é o dos componentes positivos, isto é, apontando para o octante positivo — esse sentido coincide com o normal externo ao octaedro (aponta para fora do sólido), então a orientação está correta.
Passo 5
Avaliar F sobre a parametrização e o produto escalar com r_x\times r_y: