Exercício 47. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(x, y, z) e S a superfície |x|+|y|+|z|=1 no primeiro octante, com vetor normal n apontando para o exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície S dada por |x|+|y|+|z|=1 no primeiro octante, com o vetor normal n apontando para o exterior. Informações relevantes dadas:
  • A superfície S no primeiro octante é a face triangular do octaedro definida pela equação \;x+y+z=1\; com \;x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0.
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=(x,y,z).
  • Queremos calcular \displaystyle \iint_{S}(F\cdot n)\,d s, onde n é o vetor normal unitário apontando para fora do sólido (fora do octaedro).

Passo 2

Estratégia: parametrizar a face triangular por coordenadas (x,y) no triângulo projetado no plano z=0, calcular o vetor normal orientado com o produto vetorial das derivadas da parametrização e usar a fórmula de integral de superfície
\iint_{S}F\cdot n\,d s=\iint_{D}F\big(r(x,y)\big)\cdot\big(r_x\times r_y\big)\,dA,
onde r(x,y) é a parametrização da superfície, r_x e r_y são as derivadas parciais e D é a região de parâmetros. Explicação da fórmula: r_x\times r_y é um vetor ortogonal à superfície cujo módulo é igual à área do elemento de superfície projetado; o produto escalar F\cdot(r_x\times r_y) já incorpora a orientação (sinal) desejada.

Passo 3

Parametrização da face triangular. Como a face é o plano \;x+y+z=1\;, podemos escrever z=1-x-y. Tomamos a parametrização
r(x,y) = (x,y,1-x-y).
Aqui as variáveis de parâmetro x e y variam no triângulo
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
Observação: essa parametrização é válida porque a face não é vertical em relação ao plano xy, então toda a face é obtida variando (x,y) em D.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais r_x e r_y:
r_x=(1,0,-1),\qquad r_y=(0,1,-1).
Agora calculamos o produto vetorial r_x\times r_y. Usamos o determinante da matriz formada pelos vetores padrão:
r_x\times r_y=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}=(1,1,1).
Interpretação: r_x\times r_y=(1,1,1) é um vetor normal à face. Seu sentido é o dos componentes positivos, isto é, apontando para o octante positivo — esse sentido coincide com o normal externo ao octaedro (aponta para fora do sólido), então a orientação está correta.

Passo 5

Avaliar F sobre a parametrização e o produto escalar com r_x\times r_y:
F\big(r(x,y)\big)=(x,y,1-x-y).
Então
F\big(r(x,y)\big)\cdot\big(r_x\times r_y\big)=(x,y,1-x-y)\cdot(1,1,1)=x+y+1-x-y=1.
Explicação: o produto escalar soma as componentes correspondentes; aqui as x e y se cancelam com as partes de z, sobrando a constante 1.

Passo 6

Agora integramos sobre a região D. Como o integrando é constantemente 1,
\iint_{S}F\cdot n\,d s=\iint_{D}1\,dA=\text{área}(D).á
A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,1). A área de um triângulo com base 1 e altura 1 é
\text{área}(D)=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}.á

Resposta

\dfrac{1}{2}

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