e calcule:
(a) a derivada y^{\prime}=\frac{d y}{d x};
(b) a reta tangente à curva no ponto \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
\cos(y) + x^2 + 2x = y - \frac{\pi}{2}
e pede (a) a derivada y' = \frac{dy}{dx} por diferenciação implícita e (b) a equação da reta tangente a essa curva no ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Vamos usar as derivadas de \cos(y) (regra da cadeia) e de polinômios para resolver.
Para a reta tangente no ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), calculamos o coeficiente angular m = y'\bigl|_{(0,\pi/2)}. Substituindo x=0 e y=\tfrac{\pi}{2}: