(0,3 pts) Considere a curva
\cos (y)+x^{2}+2 x=y-\frac{\pi}{2}
e calcule:
(a) a derivada y^{\prime}=\frac{d y}{d x};
(b) a reta tangente à curva no ponto \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
\cos(y) + x^2 + 2x = y - \frac{\pi}{2}
e pede (a) a derivada y' = \frac{dy}{dx} por diferenciação implícita e (b) a equação da reta tangente a essa curva no ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Vamos usar as derivadas de \cos(y) (regra da cadeia) e de polinômios para resolver.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}[\cos(y)] + \frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[2x] = \frac{d}{dx}[y] - \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr).
Isso dá
-\sin(y)\,y' + 2x + 2 = y' - 0.
Reagrupando os termos com y':
2x + 2 = y' + \sin(y)\,y' = y'\bigl(1 + \sin(y)\bigr).
Logo,
y' = \frac{2x + 2}{1 + \sin(y)}.

Passo 3

Para a reta tangente no ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), calculamos o coeficiente angular m = y'\bigl|_{(0,\pi/2)}. Substituindo x=0 e y=\tfrac{\pi}{2}:
m = \frac{2\cdot 0 + 2}{1 + \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)} = \frac{2}{1 + 1} = 1.
A equação da reta tangente é
y - y_0 = m\,(x - x_0) \quad\Longrightarrow\quad y - \frac{\pi}{2} = 1\,(x - 0),
isto é,
y = x + \frac{\pi}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle y' = \frac{2x + 2}{1 + \sin(y)}.
(b) y = x + \frac{\pi}{2}.

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