Calcule \iint_{D} \frac{x^{3}}{y^{2}} d A \operatorname{com} D a região limitada por y=\frac{1}{x^{2}}, x=1 e y=\frac{1}{4} na seguinte ordem:
2.
Integrando com respeito a x primeiro e então com respeito a y.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{D}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dA
sobre a região D limitada pelas curvas
y=\frac{1}{x^{2}},\quad x=1,\quad y=\frac{1}{4},
na ordem de integração dx primeiro e depois dy. Vamos, portanto, descrever D em função de y, montar a integral iterada \displaystyle\int dy\int dx e calcular passo a passo.

Passo 2

Para inverter a ordem, observamos que:
– A interseção de y=1/x^{2} com y=1/4 1/x^{2}=1/4\Rightarrow x=2.
– Em x=1, y=1/x^{2}=1.
Logo y varia de \tfrac14 até 1.
Para cada y fixo, x vai da reta vertical x=1 até a curva x=1/\sqrt{y}.

Passo 3

A integral iterada fica
\int_{y=\tfrac14}^{1}\!\Bigl(\int_{x=1}^{1/\sqrt{y}}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dx\Bigr)dy.
Dentro, y é constante, então
\int_{x=1}^{1/\sqrt{y}}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dx =\frac{1}{y^{2}}\int_{1}^{1/\sqrt{y}}x^{3}\,dx =\frac{1}{y^{2}}\Bigl[\frac{x^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{1/\sqrt{y}} =\frac{1}{4y^{2}}\Bigl(\frac{1}{y^{2}}-1\Bigr) =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{y^{4}}-\frac{1}{y^{2}}\Bigr).

Passo 4

Substituindo no integral em y:
\int_{\tfrac14}^{1}\frac{1}{4}\Bigl(y^{-4}-y^{-2}\Bigr)\,dy =\frac{1}{4}\int_{\tfrac14}^{1}\bigl(y^{-4}-y^{-2}\bigr)\,dy.
Calculamos antiderivada:
\int y^{-4}dy=-\frac{1}{3y^{3}},\qquad \int y^{-2}dy=-y^{-1}.
Logo
\frac{1}{4}\Bigl[-\frac{1}{3y^{3}}+y^{-1}\Bigr]_{\tfrac14}^{1} =\frac{1}{4}\Bigl[\Bigl(-\frac{1}{3} +1\Bigr)-\Bigl(-\frac{1}{3}\cdot64+4\Bigr)\Bigr] =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{2}{3} -(-\tfrac{64}{3}+4)\Bigr) =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{2}{3} +\frac{52}{3}\Bigr) =\frac{1}{4}\cdot\frac{54}{3} =\frac{54}{12} =\frac{9}{2}.

Resposta

\frac{9}{2}.

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