Calcule \iint_{D} \frac{x^{3}}{y^{2}} d A \operatorname{com} D a região limitada por y=\frac{1}{x^{2}}, x=1 e y=\frac{1}{4} na seguinte ordem:
2.
Integrando com respeito a y primeiro e então com respeito a x.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dA
onde D é a região limitada pelas curvas y=\frac{1}{x^{2}}, x=1 e y=\frac{1}{4}. O objetivo é escrever essa integral na ordem “ y primeiro, depois x” e calcular o valor numérico. Vamos usar integração iterada e algebrar a integral em y antes de integrar em x.

Passo 2

Primeiro identificamos as fronteiras de D em coordenadas x,y. As curvas se intersectam quando
\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=2.
Portanto, x varia de 1 a 2. Para cada x fixo em [1,2], o y varia de baixo para cima entre o valor y=\tfrac{1}{4} e y=\tfrac{1}{x^{2}}. Assim a integral torna-se
\int_{x=1}^{2}\Bigl(\int_{y=\tfrac14}^{\,y=\tfrac{1}{x^{2}}}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Dentro da integral em y, x é constante. Calculamos
\int_{\tfrac14}^{\,1/x^{2}}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dy = x^{3}\int_{\tfrac14}^{\,1/x^{2}}y^{-2}\,dy = x^{3}\Bigl[-\,y^{-1}\Bigr]_{y=\tfrac14}^{\,y=\tfrac{1}{x^{2}}} = x^{3}\Bigl(-\,x^{2}+4\Bigr) = 4x^{3}-x^{5}.

Passo 4

Agora substituímos na integral em x:
\int_{1}^{2}\bigl(4x^{3}-x^{5}\bigr)\,dx = \int_{1}^{2}4x^{3}\,dx - \int_{1}^{2}x^{5}\,dx.
Calculamos cada parte:
\int_{1}^{2}4x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4}\Bigm|_{1}^{2} = \bigl[x^{4}\bigr]_{1}^{2} = 16-1 = 15,
\int_{1}^{2}x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6}\Bigm|_{1}^{2} = \frac{64}{6}-\frac{1}{6} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2}.
Logo,
\int_{1}^{2}\bigl(4x^{3}-x^{5}\bigr)\,dx = 15-\frac{21}{2} = \frac{30-21}{2} = \frac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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