Calcule \iint_{D} x y-y^{3} d A com D a região limitada por y=x^{2}, y=-x^{2} e x=2 na seguinte ordem:
(a) Integrando com respeito a x primeiro e então com respeito a y.
(b) Integrando com respeito a y primeiro e então com respeito a x.

Passo 1

O enunciado pede
Calcular \displaystyle \iint_{D}(x\,y - y^{3})\,dA,
onde D é a região limitada pelas curvas
y = x^{2},\quad y = -\,x^{2},\quad x = 2.
O conteúdo usado será integração dupla e exploração de simetria/paridade para simplificar o cálculo.

Passo 2

(a) Integração em ordem dx\,dy.
Para um y fixo com -4\le y\le 4, a região impõe
\sqrt{\lvert y\rvert}\,\le x\le 2.
Assim a integral fica
\int_{y=-4}^{4}\;\int_{x=\sqrt{\lvert y\rvert}}^{2}\bigl(x\,y - y^{3}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Note que f(x,y)=x\,y - y^{3} é ímpar em y e que, para cada y, os limites de x dependem apenas de \lvert y\rvert. Logo, a integral interna em x gera uma função g(y) tal que g(-y)=-g(y). Portanto
\int_{-4}^{4}g(y)\,dy = 0,
e a integral no caso (a) é zero.

Passo 4

(b) Integração em ordem dy\,dx.
Para cada x fixo em 0\le x\le 2, temos
-\,x^{2}\le y\le x^{2},
logo
\int_{x=0}^{2}\;\int_{y=-x^{2}}^{x^{2}}\bigl(x\,y - y^{3}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Calculando a interna em y:
\int_{-x^{2}}^{x^{2}}\bigl(x\,y - y^{3}\bigr)\,dy = \Bigl[\tfrac{x\,y^{2}}{2}-\tfrac{y^{4}}{4}\Bigr]_{-x^{2}}^{x^{2}} = 0,
pois os dois termos se anulam pelo mesmo valor em y=x^{2} e y=-x^{2}. Logo toda a integral dupla é zero.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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