Calcule
com
a região limitada por
e
na seguinte ordem:
(a) Integrando com respeito a
primeiro e então com respeito a
.
(b) Integrando com respeito a
primeiro e então com respeito a
.
(a) Integrando com respeito a
(b) Integrando com respeito a
Passo 1
O enunciado pede
Calcular ,
onde é a região limitada pelas curvas
Calcular
onde
O conteúdo usado será integração dupla e exploração de simetria/paridade para simplificar o cálculo.
Passo 2
(a) Integração em ordem
.
Para um fixo com
, a região impõe
Para um
Assim a integral fica
Passo 3
Note que
é ímpar em
e que, para cada
, os limites de
dependem apenas de
. Logo, a integral interna em
gera uma função
tal que
. Portanto
e a integral no caso (a) é zero.
Passo 4
(b) Integração em ordem
.
Para cada fixo em
, temos
Para cada
logo
Passo 5
Calculando a interna em
:
pois os dois termos se anulam pelo mesmo valor em
e
. Logo toda a integral dupla é zero.
Resposta
(a)
(b)
(b)