Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular
no retângulo
, usando o Teorema de Fubini para (i) integrar primeiro em
e depois em
e (ii) integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 2
Ordem (i): integrar em
primeiro. Escrevemos
No integrando,
e
são constantes em relação a
, logo
Para calcular
usamos integração por partes com
,
. Então
e
Portanto a integral interna vale
.
Passo 3
A integral total torna-se
De novo por partes, com
,
, obtemos
Assim
Passo 4
Ordem (ii): integrar em
primeiro. Escrevemos
Agora
é constante em relação a
, então
Logo a integral externa é
Passo 5
Em ambas as ordens de integração o resultado final coincide.