Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} x y e^{x} \cos y d A \quad R=[0,1] \times[0, \pi]

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\iint_{R} x\,y\,e^{x}\cos y \,\mathrm{d}A
no retângulo R=[0,1]\times[0,\pi], usando o Teorema de Fubini para (i) integrar primeiro em x e depois em y e (ii) integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Ordem (i): integrar em x primeiro. Escrevemos
\int_{y=0}^{\pi}\Bigl(\int_{x=0}^{1}x\,y\,e^{x}\cos y\,\mathrm{d}x\Bigr)\mathrm{d}y.
No integrando, y e \cos y são constantes em relação a x, logo
\int_{x=0}^{1}x\,y\,e^{x}\cos y\,\mathrm{d}x = y\cos y\int_{0}^{1}x e^{x}\,\mathrm{d}x.
Para calcular
\int_{0}^{1}x e^{x}\,\mathrm{d}x,
usamos integração por partes com u=x, dv=e^{x}\mathrm{d}x. Então
\int x e^{x}\,\mathrm{d}x = (x-1)e^{x}+C
e
\int_{0}^{1}x e^{x}\,\mathrm{d}x = [(1-1)e^{1} - (0-1)e^{0}] = 1.
Portanto a integral interna vale y\cos y.

Passo 3

A integral total torna-se
\int_{0}^{\pi}y\cos y\,\mathrm{d}y.
De novo por partes, com u=y, dv=\cos y\,\mathrm{d}y, obtemos
\int y\cos y\,\mathrm{d}y = y\sin y - \int \sin y\,\mathrm{d}y = y\sin y + \cos y + C.
Assim
\int_{0}^{\pi}y\cos y\,\mathrm{d}y = [\pi\sin\pi + \cos\pi] - [0 + \cos0] = -1 - 1 = -2.

Passo 4

Ordem (ii): integrar em y primeiro. Escrevemos
\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=0}^{\pi}x\,y\,e^{x}\cos y\,\mathrm{d}y\Bigr)\mathrm{d}x.
Agora x e^{x} é constante em relação a y, então
\int_{y=0}^{\pi}x\,y\,e^{x}\cos y\,\mathrm{d}y = x e^{x}\int_{0}^{\pi}y\cos y\,\mathrm{d}y = x e^{x}\cdot(-2).
Logo a integral externa é
\int_{0}^{1}(-2)x e^{x}\,\mathrm{d}x = -2\int_{0}^{1}x e^{x}\,\mathrm{d}x = -2\cdot1 = -2.

Passo 5

Em ambas as ordens de integração o resultado final coincide.

Resposta

-2

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