Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre o retângulo
. O conteúdo teórico é o Teorema de Fubini, que nos permite avaliar essa integral via integrais iteradas, ora integrando primeiro em
, ora em
.
Passo 2
Integramos em
primeiro, mantendo
fixo:
Passo 3
Usando
e
, temos
Agora integramos esse resultado em
de 0 a 4.
Passo 4
Calculamos
Como
e
, resulta
Passo 5
Agora integramos em
primeiro, com
fixo:
Como
e
, obtemos
Passo 6
Finalmente integramos em
de 1 a 2:
Aplicando novamente
e
,
que coincide com o cálculo anterior, confirmando Fubini.