Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} 2 y \ln x-20 x^{3} y^{3} d A \quad R=[1,2] \times[0,4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=2y\ln x - 20x^3y^3
sobre o retângulo R=[1,2]\times[0,4]. O conteúdo teórico é o Teorema de Fubini, que nos permite avaliar essa integral via integrais iteradas, ora integrando primeiro em x, ora em y.

Passo 2

Integramos em x primeiro, mantendo y fixo:
\int_{x=1}^{2}\bigl(2y\ln x -20x^3y^3\bigr)\,dx =2y\int_{1}^{2}\ln x\,dx \;-\;20y^3\int_{1}^{2}x^3\,dx.

Passo 3

Usando \displaystyle \int\ln x\,dx = x\ln x - x e \displaystyle \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}, temos
\int_{1}^{2}\bigl(2y\ln x -20x^3y^3\bigr)\,dx =2y\bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{2} -20y^3\bigl[\tfrac{x^4}{4}\bigr]_{1}^{2} =4y\ln2 -2y -75y^3.
Agora integramos esse resultado em y de 0 a 4.

Passo 4

Calculamos
\int_{y=0}^{4}(4y\ln2 -2y -75y^3)\,dy =4\ln2\int_{0}^{4}y\,dy -2\int_{0}^{4}y\,dy -75\int_{0}^{4}y^3\,dy.
Como \int y\,dy=y^2/2 e \int y^3\,dy=y^4/4, resulta
4\ln2\cdot\tfrac{16}{2} -2\cdot\tfrac{16}{2} -75\cdot\tfrac{256}{4} =32\ln2 -16 -4800 =32\ln2 -4816.

Passo 5

Agora integramos em y primeiro, com x fixo:
\int_{y=0}^{4}\bigl(2y\ln x -20x^3y^3\bigr)\,dy =\ln x\int_{0}^{4}2y\,dy -20x^3\int_{0}^{4}y^3\,dy.
Como \int2y\,dy=y^2 e \int y^3\,dy=y^4/4, obtemos
\int_{0}^{4}\bigl(2y\ln x -20x^3y^3\bigr)\,dy =16\ln x -1280x^3.

Passo 6

Finalmente integramos em x de 1 a 2:
\int_{1}^{2}(16\ln x -1280x^3)\,dx =16\int_{1}^{2}\ln x\,dx -1280\int_{1}^{2}x^3\,dx.
Aplicando novamente \int\ln x\,dx = x\ln x - x e \int x^3\,dx = x^4/4,
16\bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{2} -1280\bigl[\tfrac{x^4}{4}\bigr]_{1}^{2} =(32\ln2 -32) -320(16-1) =32\ln2 -4816,
que coincide com o cálculo anterior, confirmando Fubini.

Resposta

\iint_{R}\bigl(2y\ln x - 20x^3y^3\bigr)\,dA = 32\ln2 - 4816.

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