Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 8 y x^{3} d A \operatorname{com} D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leqslant y \leqslant 2,-1 \leqslant x \leqslant 1+y^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} 8\,y\,x^{3}\,dA
onde
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\le y\le 2,\,-1\le x\le 1+y^{2}\bigr\}.
O conteúdo envolvido é: uso de Fubini para escrever a integral iterada, integração em x primeiro e depois em y, e uma substituição apropriada para simplificar a integral em y.

Passo 2

Usando Fubini, escrevemos
\iint_{D}8\,y\,x^{3}\,dA =\int_{y=-1}^{2}\Bigl(\int_{x=-1}^{\,1+y^{2}}8\,y\,x^{3}\,dx\Bigr)dy.

Passo 3

Calculemos a integral interna em x:
\int_{x=-1}^{\,1+y^{2}}8\,y\,x^{3}\,dx =8\,y\int_{-1}^{\,1+y^{2}}x^{3}\,dx =8\,y\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{x=-1}^{\,1+y^{2}} =2\,y\Bigl((1+y^{2})^{4}-(-1)^{4}\Bigr).
Como (-1)^{4}=1, isso fica
2\,y\bigl((1+y^{2})^{4}-1\bigr).

Passo 4

Portanto a integral total é
\int_{-1}^{2}2\,y\bigl((1+y^{2})^{4}-1\bigr)\,dy.
Para resolver usamos a substituição
u=1+y^{2},\qquad du=2\,y\,dy.
Quando y=-1, u=1+(-1)^{2}=2; quando y=2, u=1+2^{2}=5.

Passo 5

Em termos de u, a integral torna-se
\int_{u=2}^{5}\bigl(u^{4}-1\bigr)\,du
pois 2\,y\,dy=du.

Passo 6

Agora integramos em u:
\int_{2}^{5}(u^{4}-1)\,du =\Bigl[\tfrac{u^{5}}{5}-u\Bigr]_{2}^{5} =\Bigl(\tfrac{5^{5}}{5}-5\Bigr)-\Bigl(\tfrac{2^{5}}{5}-2\Bigr) =\bigl(625-5\bigr)-\bigl(\tfrac{32}{5}-2\bigr).
Calculando cada parte:
625-5=620, \quad \tfrac{32}{5}-2=\tfrac{32-10}{5}=\tfrac{22}{5},
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620-\tfrac{22}{5} =\tfrac{3100-22}{5} =\tfrac{3078}{5}.

Resposta

\iint_{D}8\,y\,x^{3}\,dA =\frac{3078}{5}.

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