onde D é o quadrilátero limitado pelas retas \;y-2x=1,\;y-2x=2,\;y+2x=1,\;y+2x=2.
O conteúdo principal aqui é mudança de variável em integrais duplas, escolhendo coordenadas que tornem o domínio e o integrando mais simples.
Passo 2
Definimos as novas variáveis
u = y - 2x, \quad v = y + 2x.
Com isso a fronteira de D vira o retângulo
1 \le u \le 2, \quad 1 \le v \le 2.
Além disso o numerador y+2x fica simplesmente v e o denominador \sqrt{\,y - 2x - 1\,}=\sqrt{u-1}.
Passo 3
Para achar o jacobiano, resolvemos
y = \frac{u+v}{2}, \quad x = \frac{v-u}{4}.
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dx\,dy = \Bigl|\det \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix}\Bigr|\;du\,dv = \frac14\,du\,dv.