Calcule \iint_{D} \frac{y+2 x}{\sqrt{y-2 x-1}} d x d y, sendo D a região limitada pelas retas y-2 x=2, y+2 x=2, y-2 x=1 e y+2 x=1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{D} \frac{y + 2x}{\sqrt{\,y - 2x - 1\,}}\;dx\,dy
onde D é o quadrilátero limitado pelas retas \;y-2x=1,\;y-2x=2,\;y+2x=1,\;y+2x=2.
O conteúdo principal aqui é mudança de variável em integrais duplas, escolhendo coordenadas que tornem o domínio e o integrando mais simples.

Passo 2

Definimos as novas variáveis
u = y - 2x, \quad v = y + 2x.
Com isso a fronteira de D vira o retângulo
1 \le u \le 2, \quad 1 \le v \le 2.
Além disso o numerador y+2x fica simplesmente v e o denominador \sqrt{\,y - 2x - 1\,}=\sqrt{u-1}.

Passo 3

Para achar o jacobiano, resolvemos
y = \frac{u+v}{2}, \quad x = \frac{v-u}{4}.
Logo
dx\,dy = \Bigl|\det \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix}\Bigr|\;du\,dv = \frac14\,du\,dv.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\iint_{D}\frac{y+2x}{\sqrt{y-2x-1}}\,dx\,dy = \int_{v=1}^{2}\int_{u=1}^{2} \frac{v}{\sqrt{u-1}}\;\frac14\,du\,dv = \frac14 \Bigl(\int_{v=1}^{2}v\,dv\Bigr) \Bigl(\int_{u=1}^{2}\frac{du}{\sqrt{u-1}}\Bigr).

Passo 5

Calculamos as duas integrais separadas:
\int_{v=1}^{2}v\,dv =\Bigl[\tfrac{v^2}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{4}{2}-\frac{1}{2} =\frac32,
e fazendo t=u-1,
\int_{u=1}^{2}\frac{du}{\sqrt{u-1}} =\int_{t=0}^{1}t^{-\tfrac12}\,dt =\bigl[2\,t^{\tfrac12}\bigr]_{0}^{1} =2.
Multiplicando tudo:
\frac14\cdot \frac32\cdot 2 =\frac{3}{4}.

Resposta

\boxed{\frac{3}{4}}

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