Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime}=\left(3 x^{2}-1\right) y(3+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
y' = \bigl(3x^2 - 1\bigr)\,y\,(3 + 2y).
O conteúdo é EDO de variável separável. Vamos separar x e y, integrar ambos os lados e depois isolar y.

Passo 2

Reescrevemos y' como \frac{dy}{dx} e separamos as variáveis:
\frac{dy}{y\,(3+2y)} \;=\;(3x^2 - 1)\,dx.

Passo 3

Integramos o lado em y usando frações parciais. Primeiro escrevemos
\frac{1}{y\,(3+2y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{3+2y}.
Temos
1 = A(3+2y) + B\,y = 3A + (2A+B)y,
logo 3A=1\implies A=\tfrac13 e 2A+B=0\implies B=-\tfrac23. Assim
\int \frac{dy}{y\,(3+2y)} = \int\Bigl(\tfrac{1}{3y} - \tfrac{2}{3(3+2y)}\Bigr)\,dy = \frac{1}{3}\ln\lvert y\rvert - \frac{2}{3}\!\cdot\!\frac{1}{2}\ln\lvert3+2y\rvert = \frac{1}{3}\ln\Bigl\lvert\frac{y}{3+2y}\Bigr\rvert.

Passo 4

Integramos o lado em x:
\int(3x^2 - 1)\,dx = x^3 - x + C.

Passo 5

Igualando as integrais:
\frac{1}{3}\ln\Bigl\lvert\frac{y}{3+2y}\Bigr\rvert = x^3 - x + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl\lvert\frac{y}{3+2y}\Bigr\rvert = 3x^3 - 3x + C_1.
Exponenciando e chamando K=e^{C_1}:
\frac{y}{3+2y} = K\,e^{3x^3-3x} \quad\Longrightarrow\quad y = K\,e^{3x^3-3x}(3+2y).
Isolando y:
y\bigl(1 - 2K\,e^{3x^3-3x}\bigr) = 3K\,e^{3x^3-3x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{3K\,e^{3x^3-3x}}{1 - 2K\,e^{3x^3-3x}}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{3K\,e^{3x^3-3x}}{1 - 2K\,e^{3x^3-3x}},
onde K é constante arbitrária.

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