Usando mudança polar, calcule as integrais:
, sendo
a região limitada pela curva
e pelo eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região limitada pela semicircunferência
e pelo eixo
.
O conteúdo principal é a mudança para coordenadas polares, em que usamos
O conteúdo principal é a mudança para coordenadas polares, em que usamos
e identificamos os limites de
e
.
Passo 2
Descrevemos
em polares. A curva
é a semicircunferência de raio
acima do eixo
, logo
Assim o integral vira
Passo 3
Calculamos primeiro a integral em
. Fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Então
Passo 4
Agora integramos em
. Como o integrando não depende de
, temos
Multiplicando pelos resultados, obtemos