Usando mudança polar, calcule as integrais:
\iint_{D} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y, sendo D a região limitada pela curva y=\sqrt{1-x^{2}} e pelo eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dx\,dy
onde D é a região limitada pela semicircunferência y=\sqrt{1-x^{2}} e pelo eixo x.
O conteúdo principal é a mudança para coordenadas polares, em que usamos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA= r\,dr\,d\theta,
e identificamos os limites de r e \theta.

Passo 2

Descrevemos D em polares. A curva y=\sqrt{1-x^{2}} é a semicircunferência de raio 1 acima do eixo x, logo
0\le r\le1, \quad 0\le \theta\le\pi.
Assim o integral vira
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em r. Fazemos a substituição u=r^{2}, de modo que du=2r\,dr ou r\,dr=\tfrac12\,du. Quando r vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Então
\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\,r\,dr = \frac12\int_{u=0}^{1} e^{u}\,du = \frac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac12\,(e-1).

Passo 4

Agora integramos em \theta. Como o integrando não depende de \theta, temos
\int_{\theta=0}^{\pi} d\theta = \pi.
Multiplicando pelos resultados, obtemos
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \pi\;\times\;\frac12\,(e-1) = \frac{\pi}{2}\,(e-1).

Resposta

\frac{\pi}{2}\,\bigl(e-1\bigr).

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