Calcule \iint_{D} e{x{2}+y^{2}} dA, onde D é definido por x{2}+y{2}=4, x{2}+y{2}=9 e y \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA
onde D é a região entre os círculos x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9 no semiplano y\le0.
Conteúdo: uso de coordenadas polares para facilitar a integral de uma função radial.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
Na região D temos
2 \le r \le 3,\quad \pi \le \theta \le 2\pi,
pois \theta\in[\pi,2\pi] corresponde ao semiplano y\le0.

Passo 3

A integral torna-se
\int_{\theta=\pi}^{2\pi}\int_{r=2}^{3} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r. Como
\frac{d}{dr}\bigl(e^{r^{2}}\bigr)=2r\,e^{r^{2}}\quad\Longrightarrow\quad\int r\,e^{r^{2}}\,dr=\frac{1}{2}e^{r^{2}},
temos
\int_{r=2}^{3} r\,e^{r^{2}}\,dr =\left[\frac{1}{2}e^{r^{2}}\right]_{2}^{3} =\frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

Passo 5

Agora integramos em \theta, que varia de \pi a 2\pi, gerando fator \pi:
\int_{\pi}^{2\pi}d\theta =\pi.
Logo, o valor da integral dupla é
\pi\;\cdot\;\frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr) =\frac{\pi}{2}\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

Resposta

\frac{\pi}{2}\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr)

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