Calcule a integral dupla em regiões retangulares
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} e^{x+3 y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A região de integração é retangular: 0\le x\le1 e 0\le y\le1.
  • A ordem de integração é primeiro em y (de 0 a 1) e depois em x (de 0 a 1).
  • A função integranda é e^{x+3y}.

Passo 2

Entendendo a técnica que vamos usar (aula rápida e calma):
  • Quando a função é contínua num retângulo podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (isso vale aqui).
  • A propriedade dos expoentes nos permite escrever
e^{x+3y}=e^{x}\,e^{3y},
o que facilita porque podemos tratar e^{x} como constante quando integremos em y.
  • Fórmula chave para integrar exponencial: para constante a\neq0,
\int e^{a t}\,dt=\frac{1}{a}e^{a t}+C.
Justificativa curta: derivando \frac{1}{a}e^{a t} obtemos e^{a t} por regra da cadeia.
  • Exemplo simples para fixar: \int_{0}^{1} e^{2y}\,dy=\frac{1}{2}(e^{2}-1). Viu como aparece o fator \tfrac{1}{2}?

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dy.
Usando e^{x+3y}=e^{x}e^{3y} e tirando e^{x} (constante em relação a y):
\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dy = e^{x}\int_{0}^{1} e^{3y}\,dy.
Agora aplicamos a fórmula \int e^{a y}\,dy=\tfrac{1}{a}e^{a y} com a=3:
\int_{0}^{1} e^{3y}\,dy = \left.\frac{1}{3}e^{3y}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr).
Portanto a integral interna fica
\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dy = e^{x}\cdot\frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr).

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(e^{x}\cdot\frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr)\right)dx = \frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr)\int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
A integral de e^{x} é e^{x}, então
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \left.e^{x}\right|_{0}^{1} = e-1.
Multiplicando:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dy\,dx = \frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr)\,(e-1).

Passo 5

Forma alternativa (expandindo) para quem quiser ver o numerador expandido:
\frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr)(e-1)=\frac{e^{4}-e^{3}-e+1}{3}.
Tudo é equivalente; a forma fatorada costuma ficar mais elegante e mais fácil de interpretar.

Resposta

\displaystyle \frac{(e^{3}-1)(e-1)}{3}

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