Calcule a integral dupla em regiões retangulares
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A região de integração é retangular:
e . - A ordem de integração é primeiro em
(de a ) e depois em (de a ). - A função integranda é
.
Passo 2
Entendendo a técnica que vamos usar (aula rápida e calma):
- Quando a função é contínua num retângulo podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (isso vale aqui).
- A propriedade dos expoentes nos permite escrever
o que facilita porque podemos tratar
como constante quando integremos em
.
- Fórmula chave para integrar exponencial: para constante
,
Justificativa curta: derivando
obtemos
por regra da cadeia.
- Exemplo simples para fixar:
. Viu como aparece o fator ?
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em
:
Usando
e tirando
(constante em relação a
):
Agora aplicamos a fórmula
com
:
Portanto a integral interna fica
Passo 4
Agora integramos em
de
a
:
A integral de
é
, então
Multiplicando:
Passo 5
Forma alternativa (expandindo) para quem quiser ver o numerador expandido:
Tudo é equivalente; a forma fatorada costuma ficar mais elegante e mais fácil de interpretar.