) Sejam
e
duas funções contínuas definidas, respectivamente, nos intervalos
e
e
o retângulo
. Justifique a fórmula (i) e, em seguida, calcule as duas integrais (ii) e (iii).
i.
ii.
iii.
i.
ii.
iii.
Passo 1
O enunciado considera duas funções contínuas
e
em
e
, respectivamente, e o retângulo
. Pede (i) justificar a fórmula de separação de variáveis para integrais duplas de produtos e (ii)/(iii) calcular
Para isso vamos usar o Teorema de Fubini e técnicas elementares de cálculo de antiderivadas.
Passo 2
Como
e
são contínuas em seus intervalos,
é contínua em
e, pelo Teorema de Fubini,
Mas dentro da integral em
,
é constante, então
Logo
Passo 3
Para calcular
,
note que
note que
Aplicando a fórmula de separação:
Agora
Portanto
Multiplicando,
Passo 4
Para
,
escrevemos
escrevemos
e separamos:
Para
usamos partes com
,
:
Logo
Para
fazemos
,
:
portanto
Multiplicando os dois resultados, obtemos o valor da integral.