1^{\text {a }} ) Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas definidas, respectivamente, nos intervalos [a, b] e [c, d] e \mathcal{R} o retângulo [a, b] \times[c, d]. Justifique a fórmula (i) e, em seguida, calcule as duas integrais (ii) e (iii).
i. \iint_{\mathcal{R}} f(x) g(y) d x d y=\left(\int_{a}^{b} f(x) d\right)\left(\int_{c}^{d} g(y) d y\right)
ii. \iint_{\mathcal{R}} x y e^{x^{2}-y^{2}} d x d y
iii. \iint_{\mathcal{R}} \frac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado considera duas funções contínuas f(x) e g(y) em [a,b] e [c,d], respectivamente, e o retângulo \mathcal{R}=[a,b]\times[c,d]. Pede (i) justificar a fórmula de separação de variáveis para integrais duplas de produtos e (ii)/(iii) calcular
\iint_{\mathcal{R}}x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy \quad\text{e}\quad \iint_{\mathcal{R}}\frac{x\,y\,\sin x}{1+4y^{2}}\,dx\,dy.
Para isso vamos usar o Teorema de Fubini e técnicas elementares de cálculo de antiderivadas.

Passo 2

Como f e g são contínuas em seus intervalos, f(x)g(y) é contínua em \mathcal{R} e, pelo Teorema de Fubini,
\iint_{\mathcal{R}}f(x)\,g(y)\,dx\,dy =\int_{a}^{b}\!\Bigl(\int_{c}^{d}f(x)\,g(y)\,dy\Bigr)\,dx.
Mas dentro da integral em y, f(x) é constante, então
\int_{c}^{d}f(x)\,g(y)\,dy =f(x)\,\int_{c}^{d}g(y)\,dy.
Logo
\iint_{\mathcal{R}}f(x)\,g(y)\,dx\,dy =\int_{a}^{b}f(x)\Bigl(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\Bigr)\,dx =\Bigl(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\Bigr).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \iint_{\mathcal{R}}x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy,
note que
x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}} =\bigl(xe^{x^{2}}\bigr)\,\bigl(ye^{-y^{2}}\bigr).
Aplicando a fórmula de separação:
\iint_{\mathcal{R}}x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy =\Bigl(\int_{a}^{b}x\,e^{x^{2}}\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{c}^{d}y\,e^{-y^{2}}\,dy\Bigr).
Agora
\int x\,e^{x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}e^{x^{2}} \quad\text{e}\quad \int y\,e^{-y^{2}}\,dy =-\frac{1}{2}e^{-y^{2}}.
Portanto
\int_{a}^{b}x\,e^{x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\bigl(e^{b^{2}}-e^{a^{2}}\bigr), \quad \int_{c}^{d}y\,e^{-y^{2}}\,dy =-\frac{1}{2}\bigl(e^{-d^{2}}-e^{-c^{2}}\bigr).
Multiplicando,
\iint_{\mathcal{R}}x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy =-\frac{1}{4}\,(e^{b^{2}}-e^{a^{2}})\,(e^{-d^{2}}-e^{-c^{2}}).

Passo 4

Para \displaystyle \iint_{\mathcal{R}}\frac{x\,y\,\sin x}{1+4y^{2}}\,dx\,dy,
escrevemos
\frac{x\,y\,\sin x}{1+4y^{2}} =\bigl(x\sin x\bigr)\,\frac{y}{1+4y^{2}},
e separamos:
\iint_{\mathcal{R}}\frac{x\,y\,\sin x}{1+4y^{2}}\,dx\,dy =\Bigl(\int_{a}^{b}x\sin x\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{c}^{d}\frac{y}{1+4y^{2}}\,dy\Bigr).
Para \int x\sin x\,dx usamos partes com u=x, dv=\sin x\,dx:
\int x\sin x\,dx =-x\cos x+\int\cos x\,dx =-x\cos x+\sin x.
Logo
\int_{a}^{b}x\sin x\,dx =\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]_{a}^{b} =-b\cos b+\sin b\;-\;(-a\cos a+\sin a).
Para \int \frac{y}{1+4y^{2}}\,dy fazemos t=1+4y^{2}, dt=8y\,dy:
\int\frac{y}{1+4y^{2}}\,dy =\frac{1}{8}\int\frac{dt}{t} =\frac{1}{8}\ln\bigl(1+4y^{2}\bigr),
portanto
\int_{c}^{d}\frac{y}{1+4y^{2}}\,dy =\frac{1}{8}\ln\frac{1+4d^{2}}{1+4c^{2}}.
Multiplicando os dois resultados, obtemos o valor da integral.

Resposta

\displaystyle\iint_{\mathcal{R}}x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy =-\tfrac{1}{4}\bigl(e^{b^{2}}-e^{a^{2}}\bigr)\,\bigl(e^{-d^{2}}-e^{-c^{2}}\bigr). \displaystyle\iint_{\mathcal{R}}\frac{x\,y\,\sin x}{1+4y^{2}}\,dx\,dy =\bigl(-b\cos b+\sin b +a\cos a-\sin a\bigr)\, \frac{1}{8}\ln\!\bigl(\tfrac{1+4d^{2}}{1+4c^{2}}\bigr).

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