4^{\mathrm{a}} ) Calcule a integral de superfície da função f(x, y, z)=x^{2}+y+z sobre a esfera unitária centrada na origem \mathcal{S}, isto é, obtenha:
\iint_{\mathcal{S}} f(x, y, z) d S

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{\mathcal{S}}f(x,y,z)\,dS
onde \mathcal{S} é a esfera unitária centrada na origem e
f(x,y,z)=x^2+y+z.
O conteúdo usado será parametrização da esfera em coordenadas esféricas e cálculo de integrais duplas.

Passo 2

Parametrizamos \mathcal{S}\) por \[\begin{cases} x = \sin\varphi\cos\theta,\\\ y = \sin\varphi\sin\theta,\\\ z = \cos\varphi, \end{cases}
com \varphi\in[0,\pi]\] e \(\theta\in[0,2\pi]. Nesse caso o elemento de superfície é
dS = \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Substituindo na função,
f = x^2+y+z = \sin^2\varphi\cos^2\theta \;+\;\sin\varphi\sin\theta\;+\;\cos\varphi,
então a integral vira
I = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} \bigl(\sin^2\varphi\cos^2\theta + \sin\varphi\sin\theta + \cos\varphi\bigr)\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Separamos em três termos:
I = I_1 + I_2 + I_3,
com
I_1 = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\sin^3\varphi\,\cos^2\theta\,d\varphi\,d\theta,
I_2 = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\sin^2\varphi\,\sin\theta\,d\varphi\,d\theta,
I_3 = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular I_1:
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi,
\int_{0}^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi = \frac{4}{3}.
Logo
I_1 = \pi \times \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3}.

Passo 6

Obtemos
I_2 = \Bigl(\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin^2\varphi\,d\varphi\Bigr) = 0
pois \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.
E
I_3 = \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\Bigr) =2\pi\times\frac{1}{2}\bigl[\sin^2\varphi\bigr]_0^\pi = 0.

Resposta

\iint_{\mathcal{S}}(x^2+y+z)\,dS = \frac{4\pi}{3}.

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