Calcule \iint_{D}(3 x+4 y)^{2} \cos \left(16 y^{2}-9 x^{2}\right) d x d y sendo D a região do plano limitado por 3 x+4 y=1 e 3 x+4 y=2 e x=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}(3x+4y)^{2}\,\cos\bigl(16y^{2}-9x^{2}\bigr)\,dx\,dy
onde D é a região limitada pelas retas 3x+4y=1, 3x+4y=2, x=0 e y=0.
O conteúdo principal aqui é usar uma mudança de variáveis linear que simplifique tanto o fator (3x+4y)^{2} quanto o argumento 16y^{2}-9x^{2} do cosseno.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x + 4y, \quad v = 4y - 3x.
Com isso temos
16y^{2}-9x^{2} = (4y)^{2} - (3x)^{2} = (4y - 3x)\,(4y + 3x) = u\,v,
e o integrando fica u^{2}\cos(u\,v).

Passo 3

Calculamos o jacobiano
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =\\ \begin{vmatrix} 3 & 4 \\\\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 3 \cdot 4 - (-3) \cdot 4 = 24.
Logo
dx\,dy = \frac{1}{24}\,du\,dv.

Passo 4

Precisamos descrever D em coordenadas (u,v). Nas fronteiras:
  • 3x+4y=1 vira u=1, e 3x+4y=2 vira u=2.
  • x=0 u=4y e v=4y, logo v=u.
  • y=0 u=3x e v=-3x, logo v=-u.
    Portanto u varia de 1 a 2 e, para cada u, v varia de -u a u.

Passo 5

A integral em (u,v) fica
\iint_{D}(3x+4y)^{2}\cos(16y^{2}-9x^{2})\,dx\,dy = \int_{u=1}^{2}\!\int_{v=-u}^{u} u^{2}\cos(u\,v)\,\frac{1}{24}\,dv\,du.

Passo 6

Calculamos primeiro a integral em v:
\int_{-u}^{u}\cos(u\,v)\,dv =\biggl[\frac{1}{u}\sin(u\,v)\biggr]_{v=-u}^{v=u} =\frac{1}{u}\bigl(\sin(u^{2})-\sin(-u^{2})\bigr) =\frac{2\sin(u^{2})}{u}.

Passo 7

Substituindo na integral em u:
\frac{1}{24}\int_{1}^{2}u^{2}\cdot\frac{2\sin(u^{2})}{u}\,du =\frac{1}{12}\int_{1}^{2}u\,\sin(u^{2})\,du.

Passo 8

Fazemos t = u^{2}, dt = 2u\,du, logo u\,du = dt/2 e quando u vai de 1 a 2, t vai de 1 a 4. Assim
\frac{1}{12}\int_{1}^{2}u\,\sin(u^{2})\,du =\frac{1}{12}\int_{t=1}^{4}\sin(t)\,\frac{dt}{2} =\frac{1}{24}\Bigl[-\cos(t)\Bigr]_{1}^{4} =\frac{1}{24}\bigl(\cos(1)-\cos(4)\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\cos(1)-\cos(4)}{24}}

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