Calcule
sendo D a região do plano limitado por
e
e
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região limitada pelas retas
,
,
e
.
O conteúdo principal aqui é usar uma mudança de variáveis linear que simplifique tanto o fator quanto o argumento
do cosseno.
O conteúdo principal aqui é usar uma mudança de variáveis linear que simplifique tanto o fator
Passo 2
Escolhemos a substituição
Com isso temos
e o integrando fica
.
Passo 3
Calculamos o jacobiano
Logo
Passo 4
Precisamos descrever
em coordenadas
. Nas fronteiras:
-
vira , e vira . -
dá e , logo . -
dá e , logo .
Portanto varia de a e, para cada , varia de a .
Passo 5
A integral em
fica
Passo 6
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 7
Substituindo na integral em
:
Passo 8
Fazemos
,
, logo
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim