Calcule as integrais:
(1 pt) \int \cos x\left(1+\operatorname{sen}^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos x\bigl(1+\operatorname{sen}^{2}x\bigr)\,dx.
O conteúdo usado será a técnica de substituição (u-substituição), pois vemos que \cos x\,dx é a derivada de \operatorname{sen} x.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \operatorname{sen} x, \qquad du = \cos x\,dx.
Com isso, a integral original em x vira uma integral em u.

Passo 3

Substituindo, obtemos
\int \cos x\bigl(1+\operatorname{sen}^{2}x\bigr)\,dx =\int \bigl(1+u^{2}\bigr)\,du.
Agora aplicamos a regra de potência para cada termo.

Passo 4

Integrando em u, temos
\int \bigl(1+u^{2}\bigr)\,du =u+\frac{u^{3}}{3}+C.
Voltando à variável x com u=\operatorname{sen} x, concluímos que
\int \cos x\bigl(1+\operatorname{sen}^{2}x\bigr)\,dx =\operatorname{sen} x+\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}+C.

Resposta

\operatorname{sen} x+\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}+C.

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