(a) Find and identify the traces of the quadric surface x^{2}+y^{2}-z^{2}=1 and explain why the graph looks like the graph of the hyperboloid of one sheet in Table 1.
(b) If we change the equation in part (a) to x^{2}-y^{2}+z^{2}=1, how is the graph affected?
(c) What if we change the equation in part (a) to x^{2}+y^{2}+2 y-z^{2}=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a superfície quádricas
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1
identificando seus traços (interseções com planos coordenados) e explicar por que ela é um hiperbolóide de uma folha (conforme “Hyperboloid of one sheet” na Tabela 1 de exemplos.

Passo 2

Traços com planos paralelos ao plano xy. Fixando z=k obtemos
x^{2}+y^{2}-k^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=1+k^{2}.
Como 1+k^{2}>0 para todo k, cada traço z=k é uma circunferência de raio \sqrt{1+k^{2}}. Esses círculos crescem quando |k| aumenta.

Passo 3

Traços com planos paralelos a yz. Fixando x=a obtemos
a^{2}+y^{2}-z^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-z^{2}=1 - a^{2}.
– Se |a|<1, então 1-a^{2}>0 e o traço é uma hipérbole de equação y^{2}-z^{2}=\text{const}>0.
– Se |a|=1, o traço degenera em duas retas.
– Se |a|>1, o traço é uma hipérbole de equilácio trocado de eixos (constante negativa).

Passo 4

Traços com planos paralelos a xz. Fixando y=b obtemos
x^{2}+b^{2}-z^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-z^{2}=1 - b^{2},
também hipérboles (ou retas degeneradas no caso |b|=1).
Juntando esses traços vemos que para cada nível de z temos curvas fechadas (círculos) e para cada nível de x ou y temos hipérboles ligando esses círculos. Isso caracteriza o hiperbolóide de uma folha.

Passo 5

(b) Para
x^{2}-y^{2}+z^{2}=1
repetimos o mesmo estudo de traços. Fixando y=k
x^{2}+z^{2}=1+k^{2},
circunferências em planos y=k. Fixando x ou z dá hipérboles. A única diferença em relação ao caso (a) é que aqui o eixo “negativo” é o eixo y, então o hiperbolóide de uma folha fica “esticado” ao longo de y, em vez de ao longo de z.

Passo 6

(c) Para
x^{2}+y^{2}+2y - z^{2}=0
completamos o quadrado em y:
x^{2}+\bigl(y^{2}+2y+1\bigr)-1 - z^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+(y+1)^{2}-z^{2}=1.
É o mesmo hiperbolóide de uma folha de (a), só que transladado no eixo y em -1. Ou seja, centro agora em (0,-1,0).

Resposta

(a) Os traços em z=k são círculos x^{2}+y^{2}=1+k^{2} e, em x=a ou y=b, são hipérboles. Isso é a descrição típica do hiperbolóide de uma folha.
(b) Permutando o sinal negativo para y, fica um hiperbolóide de uma folha mas com eixo principal ao longo de y.
(c) Completando quadrado, obtém-se x^{2}+(y+1)^{2}-z^{2}=1, ou seja, o mesmo hiperbolóide de uma folha de (a) transladado para (0,-1,0).

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