(a) Find and identify the traces of the quadric surface
and explain why the graph looks like the graph of the hyperboloid of one sheet in Table 1.
(b) If we change the equation in part (a) to
, how is the graph affected?
(c) What if we change the equation in part (a) to
?
(b) If we change the equation in part (a) to
(c) What if we change the equation in part (a) to
Passo 1
O enunciado pede para estudar a superfície quádricas
identificando seus traços (interseções com planos coordenados) e explicar por que ela é um hiperbolóide de uma folha (conforme “Hyperboloid of one sheet” na Tabela 1 de exemplos.
Passo 2
Traços com planos paralelos ao plano
. Fixando
obtemos
Como
para todo
, cada traço
é uma circunferência de raio
. Esses círculos crescem quando
aumenta.
Passo 3
Traços com planos paralelos a
. Fixando
obtemos
– Se
, então
e o traço é uma hipérbole de equação
.
– Se , o traço degenera em duas retas.
– Se , o traço é uma hipérbole de equilácio trocado de eixos (constante negativa).
– Se
– Se
Passo 4
Traços com planos paralelos a
. Fixando
obtemos
também hipérboles (ou retas degeneradas no caso
).
Juntando esses traços vemos que para cada nível de temos curvas fechadas (círculos) e para cada nível de
ou
temos hipérboles ligando esses círculos. Isso caracteriza o hiperbolóide de uma folha.
Juntando esses traços vemos que para cada nível de
Passo 5
(b) Para
repetimos o mesmo estudo de traços. Fixando
dá
circunferências em planos
. Fixando
ou
dá hipérboles. A única diferença em relação ao caso (a) é que aqui o eixo “negativo” é o eixo
, então o hiperbolóide de uma folha fica “esticado” ao longo de
, em vez de ao longo de
.
Passo 6
(c) Para
completamos o quadrado em
:
É o mesmo hiperbolóide de uma folha de (a), só que transladado no eixo
em
. Ou seja, centro agora em
.
Resposta
(a) Os traços em
são círculos
e, em
ou
, são hipérboles. Isso é a descrição típica do hiperbolóide de uma folha.
(b) Permutando o sinal negativo para , fica um hiperbolóide de uma folha mas com eixo principal ao longo de
.
(c) Completando quadrado, obtém-se , ou seja, o mesmo hiperbolóide de uma folha de (a) transladado para
.
(b) Permutando o sinal negativo para
(c) Completando quadrado, obtém-se