Calcule as integrais:
(1,5 \mathrm{pt}) \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \ln x \, dx.
O método mais direto é a integração por partes, pois temos produto de uma função logarítmica e uma potência.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln x, \quad dv = x^{\frac{3}{2}}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^{\frac{3}{2}}\,dx = \frac{2}{5}\,x^{\frac{5}{2}}.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \ln x \, dx = \Bigl.u\,v\Bigr|_{1}^{4} - \int_{1}^{4} v\,du.

Passo 4

Substituindo as expressões de u, v e du:
\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \ln x \, dx = \frac{2}{5}\Bigl[x^{\frac{5}{2}}\ln x\Bigr]_{1}^{4} - \frac{2}{5}\int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2}{5}\Bigl[x^{\frac{5}{2}}\ln x\Bigr]_{1}^{4} - \frac{2}{5}\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}}\,dx.

Passo 5

Calculando cada termo:
x^{\frac{5}{2}}\Big|_{1}^{4} =4^{\frac{5}{2}}-1^{\frac{5}{2}}=32-1=31, \quad \ln 1=0,
\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}}\,dx =\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\Big|_{1}^{4} =\frac{2}{5}(32-1)=\frac{62}{5}.
Logo
\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \ln x \, dx = \frac{2}{5}(32\ln 4) - \frac{2}{5}\cdot\frac{62}{5} = \frac{64}{5}\ln 4 - \frac{124}{25}.
Como \ln 4=2\ln 2, também podemos escrever
\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \ln x \, dx = \frac{128}{5}\ln 2 - \frac{124}{25}.

Resposta

\boxed{\frac{64}{5}\ln 4 \;-\;\frac{124}{25}.}

Exercícios relacionados