Identifique e esboce a seguinte superfície:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado: a equação da superfície
. - Pedido: identificar que superfície é essa e esboçá‑la (mostrar como ela é, para poder desenhar à mão ou reconhecer em provas).
Observações imediatas que extraio do enunciado (sem resolver ainda): - A equação relaciona apenas
e ; a variável não aparece. - Preciso transformar essa informação em uma descrição geométrica clara e em instruções para desenhar a superfície.
Passo 2
Interpretação básica da equação: variável livre e variável dependente.
- A equação
fixa uma relação entre e . - Como
não aparece na equação, é livre: para cada par que satisfaça pode haver qualquer valor de .
Isso já sugere que a superfície é obtida repetindo (ou “extrudando”) a curva planaao longo da direção do eixo .
Passo 3
Nome e definição precisa: cilindro parabólico.
- A superfície é chamada de cilindro parabólico (ou paraboloide cilíndrico).
- Definição verbal: é a curva parabólica
no plano “transportada” por translações paralelas ao eixo , formando uma superfície que se estende infinitamente nos sentidos positivos e negativos de .
Passo 4
Parametrização e domínio (fórmula útil para estudo e esboço).
- Pode parametrizar a superfície usando parâmetros
e : escolha e . Então
com
e
.
- Interpretação: para cada
fixa‑se um ponto na parábola no plano ; variar move esse ponto ao longo de uma reta paralela ao eixo .
Passo 5
Traços (seções) que ajudam a visualizar a superfície — olhar várias fatias:
- Seção por planos horizontais
: para cada fixo, a interseção é a parábola
Ou seja, curvas parabólicas idênticas em todos os níveis de
.
- Seção por planos verticais
(reta paralela a ): para fixo a interseção é a reta
uma linha vertical passando pelo ponto
.
- Seção por planos
(planos paralelos ao eixo ): - Se
: interseção são duas retas verticais (cada uma para todo ). - Se
: uma reta vertical . - Se
: nenhuma interseção (nenhum real satisfaz ).
- Se
Passo 6
Pontos exemplares para ajudar no esboço manual.
- Tomando alguns valores de
e alguns de , obtenha pontos na superfície, por exemplo:
- Esses pontos mostram a parábola na direção
– e que, para cada ponto da parábola, há uma reta vertical inteira (variação de ) passando por ele.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (instruções práticas para prova ou exercício):
- Desenhe um sistema de eixos tridimensional: marque
, e . Coloque o plano como base (ou desenhe perspectiva). - No plano
, desenhe a parábola (vértice em , abre para ). Marque pontos como , . - Em alguns desses pontos da parábola, trace várias retas verticais (paralelas ao eixo
) para cima e para baixo — essas são as “geratrizes” do cilindro. Faça isso em 3–5 posições de . - Represente leve sombreamento ou linhas paralelas para indicar que a mesma parábola se repete em todos os níveis de
. Assim fica claro que a superfície é a parábola extrudada ao longo do eixo .
Dica: não confundir com paraboloide (como), que fecha em todas as direções; aqui a superfície é “aberta” e uniforme na direção .
Passo 8
Características adicionais rápidas (úteis para identificação em provas):
- Superfície infinita, não fechada, sem borda (extendida para
e ). - É uma superfície regrada: contém retas (as geratrizes paralelas a
). - Comparação curta: cilindro circular (
) é obtido repetindo um círculo; aqui repete‑se uma parábola.
Resposta
Cilindro parabólico (paraboloide cilíndrico) dado por
; parametrização
com
.