Identifique e esboce a seguinte superfície:
y=x^{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: a equação da superfície \,y=x^{2}\,.
  • Pedido: identificar que superfície é essa e esboçá‑la (mostrar como ela é, para poder desenhar à mão ou reconhecer em provas).
    Observações imediatas que extraio do enunciado (sem resolver ainda):
  • A equação relaciona apenas \,x e \,y; a variável \,z não aparece.
  • Preciso transformar essa informação em uma descrição geométrica clara e em instruções para desenhar a superfície.

Passo 2

Interpretação básica da equação: variável livre e variável dependente.
  • A equação \,y=x^{2}\, fixa uma relação entre \,x e \,y.
  • Como \,z não aparece na equação, \,z é livre: para cada par (x,y) que satisfaça \,y=x^{2}\, pode haver qualquer valor de \,z.
    Isso já sugere que a superfície é obtida repetindo (ou “extrudando”) a curva plana \,y=x^{2}\, ao longo da direção do eixo \,z.

Passo 3

Nome e definição precisa: cilindro parabólico.
  • A superfície é chamada de cilindro parabólico (ou paraboloide cilíndrico).
  • Definição verbal: é a curva parabólica \,y=x^{2}\, no plano z=0 “transportada” por translações paralelas ao eixo \,z, formando uma superfície que se estende infinitamente nos sentidos positivos e negativos de \,z.

Passo 4

Parametrização e domínio (fórmula útil para estudo e esboço).
  • Pode parametrizar a superfície usando parâmetros \,u e \,v: escolha \,u=x e \,v=z. Então
\mathbf{r}(u,v) = \big(u,\;u^{2},\;v\big),
com \,u\in\mathbb{R} e \,v\in\mathbb{R}.
  • Interpretação: para cada u fixa‑se um ponto na parábola (u,u^{2}) no plano z=0; variar v move esse ponto ao longo de uma reta paralela ao eixo z.

Passo 5

Traços (seções) que ajudam a visualizar a superfície — olhar várias fatias:
  • Seção por planos horizontais \,z=z_{0}: para cada \,z_{0} fixo, a interseção é a parábola
y=x^{2}\quad\text{no plano }z=z_{0}.
Ou seja, curvas parabólicas idênticas em todos os níveis de z.
  • Seção por planos verticais \,x=a (reta paralela a z): para \,x=a fixo a interseção é a reta
\{(a,a^{2},z)\mid z\in\mathbb{R}\},
uma linha vertical passando pelo ponto (a,a^{2},0).
  • Seção por planos \,y=c (planos paralelos ao eixo z):
    • Se c>0: interseção são duas retas verticais \,x=\pm\sqrt{c} (cada uma para todo z).
    • Se c=0: uma reta vertical \,x=0.
    • Se c<0: nenhuma interseção (nenhum x real satisfaz x^{2}=c).

Passo 6

Pontos exemplares para ajudar no esboço manual.
  • Tomando alguns valores de x e alguns de z, obtenha pontos na superfície, por exemplo:
\begin{aligned} x=-2,\;z=0 &\Rightarrow (-2,4,0),\\\ x=-1,\;z=1 &\Rightarrow (-1,1,1),\\\ x=0,\;z=-1 &\Rightarrow (0,0,-1),\\\ x=1,\;z=2 &\Rightarrow (1,1,2),\\\ x=2,\;z=0 &\Rightarrow (2,4,0). \end{aligned}
  • Esses pontos mostram a parábola na direção x y e que, para cada ponto da parábola, há uma reta vertical inteira (variação de z) passando por ele.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para prova ou exercício):
  1. Desenhe um sistema de eixos tridimensional: marque \,x, \,y e \,z. Coloque o plano xy como base (ou desenhe perspectiva).
  2. No plano z=0, desenhe a parábola \,y=x^{2}\, (vértice em (0,0,0), abre para y>0). Marque pontos como (\pm1,1,0), (\pm2,4,0).
  3. Em alguns desses pontos da parábola, trace várias retas verticais (paralelas ao eixo z) para cima e para baixo — essas são as “geratrizes” do cilindro. Faça isso em 3–5 posições de x.
  4. Represente leve sombreamento ou linhas paralelas para indicar que a mesma parábola se repete em todos os níveis de z. Assim fica claro que a superfície é a parábola extrudada ao longo do eixo z.
    Dica: não confundir com paraboloide (como z=x^{2}+y^{2}), que fecha em todas as direções; aqui a superfície é “aberta” e uniforme na direção z.

Passo 8

Características adicionais rápidas (úteis para identificação em provas):
  • Superfície infinita, não fechada, sem borda (extendida para |x|\to\infty e |z|\to\infty).
  • É uma superfície regrada: contém retas (as geratrizes paralelas a z).
  • Comparação curta: cilindro circular ( x^{2}+y^{2}=1) é obtido repetindo um círculo; aqui repete‑se uma parábola.

Resposta

Cilindro parabólico (paraboloide cilíndrico) dado por \,y=x^{2}\,; parametrização \displaystyle \mathbf{r}(u,v)=(u,u^{2},v) com u,v\in\mathbb{R}.

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