A região D é limitada por \mathrm{y}=\mathrm{x}^{\wedge} 2 e \mathrm{y}=2-\mathrm{x} (intersecções no primeiro quadrante). Escreva \iint \_D f(x, y) d A nas duas ordens e calcule para f(x, y)=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D}f(x,y)\,dA
sobre a região D limitada pelas curvas
y = x^2 \quad\text{e}\quad y = 2 - x
no primeiro quadrante, escritas nas duas ordens de integração, e depois calcular essa integral para f(x,y)=1. O conteúdo aqui é descrição de domínio para integrais iteradas e cálculo de área.

Passo 2

Descrição de D integrando primeiro em y e depois em x.
Para cada x em [0,1] (as abscissas de interseção), y varia de x^2 (baixo) até 2-x (cima). Assim
\iint_{D}f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=x^2}^{\,2-x}f(x,y)\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Descrição de D integrando primeiro em x e depois em y.
Invertendo
y=x^2\implies x=\sqrt{y}, \quad y=2-x\implies x=2-y,
vemos que y vai de 0 até 2, mas a ordem das curvas troca em y=1 (onde \sqrt{1}=2-1). Logo
\iint_{D}f(x,y)\,dA =\int_{y=0}^{1}\Bigl(\int_{x=0}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\Bigr)dy +\int_{y=1}^{2}\Bigl(\int_{x=0}^{\,2-y}f(x,y)\,dx\Bigr)dy.

Passo 4

Cálculo para f(x,y)=1, usando a ordem dydx:
\iint_{D}1\,dA =\int_{0}^{1}\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx =\Bigl[2x-\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =2-\tfrac12-\tfrac13 =\tfrac{7}{6}.

Resposta

\iint_{D}f(x,y)\,dA =\int_{0}^{1}\Bigl(\int_{x^2}^{\,2-x}f(x,y)\,dy\Bigr)dx \quad\text{e}\quad \iint_{D}f(x,y)\,dA =\int_{0}^{1}\Bigl(\int_{0}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\Bigr)dy +\int_{1}^{2}\Bigl(\int_{0}^{\,2-y}f(x,y)\,dx\Bigr)dy.
Para f(x,y)=1, o valor da integral (área de D) é
\tfrac{7}{6}.

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