Calcule
F.ds, onde
e V é o cubo unitário (no primeiro octante). Performe o cálculo diretamente e verifique sua resposta usando o Teorema da Divergência.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
do cubo unitário em
. Vamos calcular diretamente somando o fluxo em cada face ortogonal aos eixos e, em seguida, conferir o resultado usando o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
Passo 2
Faces ortogonais ao eixo
:
- Para
, o vetor normal exterior é . Em cada ponto dessa face , logo
e, portanto, o fluxo é zero.
- Para
, e , logo
A área dessa face é
, então o fluxo é
Passo 3
Faces ortogonais ao eixo
:
- Para
, , e . Fluxo zero. - Para
, , e
A área é
, então o fluxo é
Passo 4
Faces ortogonais ao eixo
:
- Para
, , e . Fluxo zero. - Para
, , e
A área é
, logo o fluxo é
Passo 5
Somando os fluxos não nulos em
,
e
obtemos
Passo 6
Agora aplicamos o Teorema da Divergência. Primeiro calculamos
Então
Isso confirma o resultado do cálculo direto.