Calcule \iint F.ds, onde F=x^{2} i+y^{2} j+z^{2} k e V é o cubo unitário (no primeiro octante). Performe o cálculo diretamente e verifique sua resposta usando o Teorema da Divergência.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\,\mathbf{i}+y^{2}\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} através da superfície fechada S do cubo unitário em \{0\le x,y,z\le1\}. Vamos calcular diretamente somando o fluxo em cada face ortogonal aos eixos e, em seguida, conferir o resultado usando o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Faces ortogonais ao eixo x:
  • Para x=0, o vetor normal exterior é \mathbf{n}=-\mathbf{i}. Em cada ponto dessa face \mathbf{F}=(0,y^{2},z^{2}), logo
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =0\cdot(-1)+y^{2}\cdot0+z^{2}\cdot0=0
e, portanto, o fluxo é zero.
  • Para x=1, \mathbf{n}=+\mathbf{i} e \mathbf{F}=(1,y^{2},z^{2}), logo
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =1\cdot1=1.
A área dessa face é 1\times1, então o fluxo é
\iint_{y=0}^{1}\iint_{z=0}^{1}1\,dy\,dz=1.

Passo 3

Faces ortogonais ao eixo y:
  • Para y=0, \mathbf{n}=-\mathbf{j}, \mathbf{F}=(x^{2},0,z^{2}) e \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0. Fluxo zero.
  • Para y=1, \mathbf{n}=+\mathbf{j}, \mathbf{F}=(x^{2},1,z^{2}) e
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=1.
A área é 1\times1, então o fluxo é
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{1}1\,dx\,dz=1.

Passo 4

Faces ortogonais ao eixo z:
  • Para z=0, \mathbf{n}=-\mathbf{k}, \mathbf{F}=(x^{2},y^{2},0) e \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0. Fluxo zero.
  • Para z=1, \mathbf{n}=+\mathbf{k}, \mathbf{F}=(x^{2},y^{2},1) e
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=1.
A área é 1\times1, logo o fluxo é
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}1\,dx\,dy=1.

Passo 5

Somando os fluxos não nulos em x=1, y=1 e z=1 obtemos
1+1+1=3.

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema da Divergência. Primeiro calculamos
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =2x+2y+2z.
Então
\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV =2\Bigl(\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{0}^{1}y\,dy+\int_{0}^{1}z\,dz\Bigr) =2\Bigl(\tfrac12+\tfrac12+\tfrac12\Bigr) =3.
Isso confirma o resultado do cálculo direto.

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=3.

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