Sempre é possível transformar uma equação diferencial de ordem n em um sistema de n equações de primeira ordem. Para a e.d.o. y^{(n)}(t)=f\left(t ; y ; y^{\prime} ; \ldots ; y^{(n-1)}\right) devem-se introduzir novas variáveis: z_{1}=y ; z_{2}=y^{\prime} ; \ldots ; z_{n}=y^{(n-1)}. Observe que neste caso o sistema resultante é,
z_{1}^{\prime}=z_{2} ; z_{2}^{\prime}=z_{3}, \ldots ; z_{n-1}^{\prime}=z_{n} ; z_{n}^{\prime}=f\left(t ; z_{1} ; z_{2} ; \ldots ; z_{n}\right) .
Transforme as e.d.o a seguir em sistemas de equações de primeira ordem:
3 y^{\prime \prime}+\left(3 t^{2}+2 t\right) y^{\prime \prime \prime}(t)=2 t+y(t).

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação diferencial de terceira ordem
3\,y''(t)+\bigl(3t^{2}+2t\bigr)\,y'''(t)=2t+y(t)
num sistema de três equações de primeira ordem. Para isso vamos usar a ideia geral de definir
z_{1}=y,\quad z_{2}=y',\quad z_{3}=y''
e depois escrever as derivadas z_i' em função de t e dos z_j.

Passo 2

Como z_{1}=y e z_{2}=y' e z_{3}=y'', basta derivar cada uma para obter duas das três equações do sistema:
z_{1}'=z_{2}, \qquad z_{2}'=z_{3}.

Passo 3

Falta a equação para z_{3}'=y'''. A partir da ODE original isolamos y'''. Primeiro escrevemos
(3t^{2}+2t)\,y''' = 2t+y - 3\,y'',
ou seja
y''' = \frac{2t + y - 3\,y''}{3t^{2}+2t}.
Substituindo y=z_{1} e y''=z_{3} obtemos
z_{3}' = \frac{2t + z_{1} - 3\,z_{3}}{3t^{2}+2t}.

Resposta

\begin{cases} z_{1}' = z_{2},\\\ z_{2}' = z_{3},\\\ z_{3}' = \displaystyle\frac{2t + z_{1} - 3\,z_{3}}{3t^{2}+2t}. \end{cases}

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