Q5. A taxa máxima de variação da função \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})=\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{z}+\boldsymbol{y} \boldsymbol{z} no ponto (1,1,-1) é igual a:
0
1
2
4

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=xy + xz + yz
e pediu a taxa máxima de variação em (1,1,-1). Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional e gradiente: a maior variação num ponto ocorre na direção do gradiente, com intensidade igual ao módulo de \nabla f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para montar o gradiente. Temos
\frac{\partial f}{\partial x} = y + z \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x + z \quad \frac{\partial f}{\partial z} = x + y
Logo,
\nabla f(x,y,z) = \bigl(y + z,\;x + z,\;x + y\bigr)

Passo 3

Avaliando em (x,y,z)=(1,1,-1),
\nabla f(1,1,-1) = \bigl(1 + (-1),\;1 + (-1),\;1 + 1\bigr) = (0,0,2)

Passo 4

A norma desse vetor é
\|\nabla f(1,1,-1)\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = 2
Logo, a taxa máxima de variação de f no ponto é 2.

Resposta

2

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