Um permeâmetro foi utilizado para determinar os parametros permeabilidade K e fator c de uma matriz porosa. Durante um experimento de escoamento de ar através de uma amostra porosa de altura H=0,05 \mathrm{~m}, foram medidas as vazões específicas \mathrm{q}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~s}\right) e as respectivas perdas de carga \Delta P(\mathrm{~Pa}) os valores obtidos são apresentados na Tabela 1:
Tabela 1. Dados experimentais obtidos a partir da montagem experimental.
Velocidade superficial \mathbf{q}(\mathbf{m} / \mathbf{s}) Perda de carga \mathbf{\Delta P}(\mathbf{P a})
0,02 80
0,04 180
0,06 320
0,08 500
0,10 720
Sabendo que o fluido é utilizado é ar, com as seguintes propriedades: \mu=1,8 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa}.s e \rho=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Determinar os parametros K e c para a amostra porosa.

Passo 1

O experimento nos dá a queda de pressão \Delta P ao longo de uma amostra porosa de altura H=0,05,m para várias velocidades superficiais q. Queremos determinar a permeabilidade intrínseca K e o fator inercial c da amostra supondo que o escoamento obedece à lei de Darcy– Forchheimer, usando ar com viscosidade \mu=1{,}8\times10^{-5},Pa\cdot s e densidade \rho=1{,}2,kg/ m^{3}.

Passo 2

A equação de Darcy–Forchheimer no sentido x é
-\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x} \;=\;\frac{\mu}{K}\,v\;+\;\rho\,c\,v^2
para v superficial. Integrando em x\in[0,H] obtemos
\Delta P = \frac{\mu}{K}\,H\,q \;+\;\rho\,c\,H\,q^2.
Dividindo por H, definimos
\frac{\Delta P}{H} = A\,q + B\,q^2,
onde
\;A = \dfrac{\mu}{K}, portanto K = \dfrac{\mu}{A},
\;B = \rho\,c, portanto c = \dfrac{B}{\rho}.

Passo 3

Montamos uma tabela com \Delta P/H, q, q^2, e calculamos os somatórios necessários à regressão linear de \Delta P/H em função de q e q^2:
\Delta P/H (Pa/m):
80/0{,}05=1600,\;180/0{,}05=3600,\;320/0{,}05=6400,\;500/0{,}05=10000,\;720/0{,}05=14400.
Calculamos
\begin{aligned} \sum q &=0{,}30,\quad \sum q^2=0{,}022,\quad \sum q^3=0{,}0018,\quad \sum q^4=0{,}00015664,\\\ \sum q\,\frac{\Delta P}{H}&=2800,\quad \sum q^2\,\frac{\Delta P}{H}=237{,}44. \end{aligned}

Passo 4

As equações normais da regressão são
\begin{pmatrix} \sum q^2 & \sum q^3\\[6pt] \sum q^3 & \sum q^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\[3pt]B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum q\,\tfrac{\Delta P}{H}\\[6pt] \sum q^2\,\tfrac{\Delta P}{H} \end{pmatrix}.
Substituindo os valores e resolvendo, obtemos
A \approx 5{,}43\times10^4,\qquad B \approx 8{,}92\times10^5.]

Passo 5

Finalmente
K = \frac{\mu}{A} = \frac{1{,}8\times10^{-5}}{5{,}43\times10^4} \approx 3{,}3\times10^{-10}\,\mathrm{m}^2,
c = \frac{B}{\rho} = \frac{8{,}92\times10^5}{1{,}2} \approx 7{,}4\times10^5\,\mathrm{m}^{-1}.

Resposta

K \approx 3{,}3\times10^{-10}\,\mathrm{m}^2,\quad c \approx 7{,}4\times10^5\,\mathrm{m}^{-1}.

Exercícios relacionados