Dada a superfície elipsóide
. Encontre o paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados, inscrito na elipsóide, que tenha o maior volume possível.
Passo 1
O enunciado nos dá a elipsoide
e pede o paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados inscrito que maximize o volume. Vamos modelar um vértice no primeiro octante por
e usar otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange).
Passo 2
Como o paralelepípedo é simétrico, se
é um vértice no primeiro octante, as dimensões são
,
e
. Logo o volume é
O ponto
deve satisfazer a restrição
Passo 3
Para otimizar, maximamos
sob a restrição
As equações de Lagrange dão
isto é
Passo 4
Das três igualdades obtemos
Chamando esse valor comum de
, temos
e usando a restrição
Logo
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Resposta
O paralelepípedo de maior volume é aquele cujos vértices são
e seu volume máximo é
e seu volume máximo é