Dada a superfície elipsóide \frac{X^{2}}{25}+\frac{Y^{2}}{16}+\frac{Z^{2}}{9}=1. Encontre o paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados, inscrito na elipsóide, que tenha o maior volume possível.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipsoide
\frac{X^{2}}{25} + \frac{Y^{2}}{16} + \frac{Z^{2}}{9} = 1
e pede o paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados inscrito que maximize o volume. Vamos modelar um vértice no primeiro octante por (x,y,z) e usar otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange).

Passo 2

Como o paralelepípedo é simétrico, se (x,y,z) é um vértice no primeiro octante, as dimensões são 2x, 2y e 2z. Logo o volume é
V = 8\,x\,y\,z.
O ponto (x,y,z) deve satisfazer a restrição
\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} + \frac{z^{2}}{9} = 1.

Passo 3

Para otimizar, maximamos f(x,y,z)=\ln(xyz) sob a restrição
g(x,y,z)=\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{9}-1=0.
As equações de Lagrange dão
\frac{\partial}{\partial x}\ln(xyz) = \lambda\,\frac{\partial}{\partial x}g, \quad \frac{\partial}{\partial y}\ln(xyz) = \lambda\,\frac{\partial}{\partial y}g, \quad \frac{\partial}{\partial z}\ln(xyz) = \lambda\,\frac{\partial}{\partial z}g,
isto é
\frac{1}{x} = \lambda\,\frac{2x}{25}, \quad \frac{1}{y} = \lambda\,\frac{2y}{16}, \quad \frac{1}{z} = \lambda\,\frac{2z}{9}.

Passo 4

Das três igualdades obtemos
\frac{25}{x^{2}} = \frac{16}{y^{2}} = \frac{9}{z^{2}}.
Chamando esse valor comum de \tfrac1k, temos
\frac{x^{2}}{25} = \frac{y^{2}}{16} = \frac{z^{2}}{9} = k,
e usando a restrição
3k = 1 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{1}{3}.
Logo
x = \frac{5}{\sqrt{3}},\quad y = \frac{4}{\sqrt{3}},\quad z = \sqrt{3}.

Passo 5

Substituindo em V = 8xyz, obtemos
V_{\max} = 8 \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{160\sqrt{3}}{3}.

Resposta

O paralelepípedo de maior volume é aquele cujos vértices são
\bigl(\pm\tfrac{5}{\sqrt{3}},\,\pm\tfrac{4}{\sqrt{3}},\,\pm\sqrt{3}\bigr)
e seu volume máximo é
\frac{160\sqrt{3}}{3}.

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