Calcule:
\iint_{Q} y^{-3} e^{\frac{t x}{y}} d x d y, em que Q=[0, t] \times[0, t], t>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla imprópria
integral duplaQy^-3e^t,xy,dx,dy,
onde Q=[0,t]times[0,t] e t>0. O conteúdo aqui é integral imprópria em duas variáveis, pois há singularidade em y=0. Vamos começar transformando-a em uma integral iterada e verificar se ela converge.

Passo 2

Escrevemos como integral iterada em x primeiro:
integral duplaQy^-3e^t,xy,dx,dy =integraly=0^t!l[integralx=0^ty^-3e^t,xy,dxr],dy
Para o interno em x temos
integral0^te^t,xy,dx =l[yte^t,xyr]0^t =ytl(e^t^2y-1r)
Logo a integral dupla vira
integral0^ty^-3,yt,l(e^t^2y-1r),dy =1tintegral0^ty^-2l(e^t^2y-1r),dy

Passo 3

Separamos em duas integrais:
1tl[integral0^ty^-2e^t^2y,dy -integral0^ty^-2,dyr]
A segunda é
integral0^ty^-2,dy =l[-y^-1r]0^t =limyto0^+l(-y^-1r)+1t =+infty
Portanto já temos divergência, mas vamos ver também o primeiro termo.

Passo 4

O termo
integral0^ty^-2e^t^2y,dy
é ainda mais divergente em yto0, pois o fator
e^t^2/y
explode muito mais rápido que qualquer potência de y. Assim essa integral também tende a +infty.

Passo 5

Como cada uma das integrais separadas diverge para infinito, a combinação também diverge. Concluímos que a integral dupla imprópria não é convergente.

Resposta

A integral diverge para +infty.

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