Calcule:
\iint_{Q} y^{-3} e^{\frac{t x}{y}} d x d y, em que Q=[0, t] \times[0, t], t>0.
\iint_{Q} y^{-3} e^{\frac{t x}{y}} d x d y, em que Q=[0, t] \times[0, t], t>0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla imprópria
onde
e
. O conteúdo aqui é integral imprópria em duas variáveis, pois há singularidade em
. Vamos começar transformando-a em uma integral iterada e verificar se ela converge.
Passo 2
Escrevemos como integral iterada em
primeiro:
Para o interno em
temos
Logo a integral dupla vira
Passo 3
Separamos em duas integrais:
A segunda é
Portanto já temos divergência, mas vamos ver também o primeiro termo.
Passo 4
O termo
é ainda mais divergente em , pois o fator
é ainda mais divergente em
explode muito mais rápido que qualquer potência de
. Assim essa integral também tende a
.
Passo 5
Como cada uma das integrais separadas diverge para infinito, a combinação também diverge. Concluímos que a integral dupla imprópria não é convergente.
Resposta
A integral diverge para
.