Sejam f, g duas funções deriváveis em (a, b), tais que forall x in(a, b), f^prime(x)<g^prime(x). Suponha que existe c in(a, b), com f(c)=g(c). Prove que f(x)<g(x) se x>c e que f(x)>g(x) se x<c.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f e g deriváveis em (a,b) tais que
forall xin(a,b), f'(x)<g'(x)
e existe cin(a,b) com f(c)=g(c).
Queremos provar que
  • se x>c então f(x)<g(x),
  • se x<c então f(x)>g(x).
    Para isso, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio à diferença h(x)=f(x)-g(x).

Passo 2

Defina
h(x)=f(x)-g(x)
Como f e g são deriváveis em (a,b), h também é derivável em (a,b) e
h'(x)=f'(x)-g'(x)<0
para todo xin(a,b). Ou seja, h' é sempre negativa, o que implica que h é estritamente decrescente em (a,b).

Passo 3

Considere x>c. Como h é estritamente decrescente e x>c, temos
h(x)<h(c)
Mas h(c)=f(c)-g(c)=0. Logo
h(x)<0 Longrightarrow f(x)-g(x)<0 Longrightarrow f(x)<g(x)

Passo 4

Considere x<c. Novamente, pelo caráter estritamente decrescente de h, se x<c então
h(x)>h(c)=0
e portanto
f(x)-g(x)>0 Longrightarrow f(x)>g(x)

Resposta

Para x>c vale f(x)<g(x) e para x<c vale f(x)>g(x).

Exercícios relacionados