Sejam
duas funções deriváveis em
, tais que
. Suponha que existe
, com
. Prove que
se
e que
se
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções
e
deriváveis em
tais que
e existe
com
.
Queremos provar que
Queremos provar que
- se
então , - se
então .
Para isso, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio à diferença.
Passo 2
Defina
Como
e
são deriváveis em
,
também é derivável em
e
para todo
. Ou seja,
é sempre negativa, o que implica que
é estritamente decrescente em
.
Passo 3
Considere
. Como
é estritamente decrescente e
, temos
Mas
. Logo
Passo 4
Considere
. Novamente, pelo caráter estritamente decrescente de
, se
então
e portanto
Resposta
Para
vale
e para
vale
.