Resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.
lx y^2 y^prime=y^3-x^3 y(1)=0

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial
x,y^2,dydx=y^3-x^3
com condição inicial y(1)=0.
Este é um caso de equação homogênea em y e x, pois o lado direito dividido por x^3 é função de y/x. Vamos usar a substituição v=y/x.

Passo 2

Primeiro isolamos dydx. Dividindo ambos os lados por x,y^2 obtemos
dydx=y^3-x^3x,y^2 =yx-x^2y^2

Passo 3

Fazendo v=yx implica y=v,x e
dydx=v + xdvdx
Substituindo na equação dá
v + xdvdx = v - 1v^2 Longrightarrow xdvdx=-1v^2

Passo 4

Separamos variáveis em v e x:
v^2,dvdx=-1x Longrightarrow integral v^2dv=integral -dxx
v^33=-lnlvert xrvert + C

Passo 5

Voltando a y e x, como v=y/x, temos
y^33x^3=-lnlvert xrvert + C Longrightarrow y^3x^3+3lnlvert xrvert=C'
Usando y(1)=0 C'=0. Logo
y^3x^3=-3lnlvert xrvert Longrightarrow y^3=-3x^3lnlvert xrvert

Resposta

y(x)=xl(-3lnlvert xrvertr)^1/3

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