Calcule:
\iint_{Q}|\cos (x+y)| d x d y, em que Q=[0, \pi] \times[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaQ lvert cos(x+y)rvert ,dx,dy,
onde Q = [0,pi]times[0,pi].
O conteúdo principal aqui é integração dupla de uma função que depende apenas da soma x+y. Vamos usar uma redução a uma integral unidimensional em u=x+y.

Passo 2

Defina
u = x+y
Para um dado valor de uin[0,2pi], a reta x+y=u corta o quadrado Q numa linha de “comprimento”
L(u)= u, & 0<= u<= pi, 2pi - u, & pi<= u<= 2pi
Esse comprimento é a medida (no sentido de Lebesgue em uma dimensão) da intersecção da reta com o quadrado.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini e essa descrição de fatias, temos
integral duplaQlvert cos(x+y)rvert ,dx,dy =integral0^2pilvert cos urvert,L(u),du =integral0^pilvert cos urvert,u,du+integralpi^2pilvert cos urvert,(2pi - u),du

Passo 4

Calcule
I1=integral0^pilvert cos urvert,u,du =integral0^pi2ucos u,du+integralpi2^piu(-cos u),du
Usando integração por partes integral ucos u,du= usin u+cos u, obtemos
integral0^pi2ucos u,du =l[usin u+cos ur]0^pi2 =pi2-1,
integralpi2^pi(-ucos u),du =l[-usin u-cos ur]pi2^pi =1+pi2,
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I1=l(tfracpi2-1r)+l(1+tfracpi2r)=pi

Passo 5

Calcule
I2=integralpi^2pilvert cos urvert,(2pi - u),du =integralpi^3pi2-(2pi - u)cos u,du +integral3pi2^2pi(2pi - u)cos u,du
Fazendo integrações por partes em cada trecho (sem repetir detalhes), chega-se a
integralpi^3pi2-(2pi - u)cos u,du =pi2+1, integral3pi2^2pi(2pi - u)cos u,du =pi2-1,
portanto
I2=l(tfracpi2+1r)+l(tfracpi2-1r)=pi

Resposta

integral duplaQlvert cos(x+y)rvert,dx,dy =I1+I2 =pi+pi =2pi

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