Calcule:
\iint_{Q}|\cos (x+y)| d x d y, em que Q=[0, \pi] \times[0, \pi].
Passo 1
O enunciado pede
onde .
O conteúdo principal aqui é integração dupla de uma função que depende apenas da soma . Vamos usar uma redução a uma integral unidimensional em .
Passo 2
Defina
Para um dado valor de , a reta corta o quadrado numa linha de “comprimento”
Esse comprimento é a medida (no sentido de Lebesgue em uma dimensão) da intersecção da reta com o quadrado.
Passo 3
Pelo Teorema de Fubini e essa descrição de fatias, temos
integral duplaQlvert cos(x+y)rvert ,dx,dy =integral0^2pilvert cos urvert,L(u),du =integral0^pilvert cos urvert,u,du+integralpi^2pilvert cos urvert,(2pi - u),du
Passo 4
Calcule
I1=integral0^pilvert cos urvert,u,du =integral0^pi2ucos u,du+integralpi2^piu(-cos u),du
Usando integração por partes integral ucos u,du= usin u+cos u, obtemos