Calcule:
\iint_{D} \frac{x d x d y}{x^{2}+y^{2}} sendo \mathrm{D}:\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{D}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy,
onde
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
O conteúdo é integração em coordenadas polares, pois a região é um disco e a função depende de x^2+y^2.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Nesse caso
\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \frac{r\cos\theta}{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta = \cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

Os limites em polares para o disco são
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Assim a integral vira
\iint_{D}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\cos\theta\,dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{1}dr\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1}dr = 1, \qquad \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{2\pi} = 0.
Multiplicando, obtemos
1\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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