Estude os extremos relativos da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre e classifique os extremos relativos da função
O conteúdo envolvido é cálculo de pontos críticos (gradiente zero) e uso da matriz Hessiana para distinguir mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
O sistema
leva a
. Substituindo na primeira equação:
cuja solução é
logo
e
, com correspondentes
Assim, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana e o discriminante em cada ponto:
O discriminante é
Para classificar, usamos: se
e
então mínimo; se
e
então máximo; se
ponto de sela.
Passo 4
Em
:
logo há um mínimo relativo. O valor é
Em
:
portanto é ponto de sela.
Resposta
O ponto
é um mínimo relativo com
.
O ponto é ponto de sela.
O ponto