Estude os extremos relativos da seguinte função: \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=x^{3}+y^{2}+2 \mathrm{xy}-8 \mathrm{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre e classifique os extremos relativos da função
f(x,y)=x^{3}+y^{2}+2xy-8x.
O conteúdo envolvido é cálculo de pontos críticos (gradiente zero) e uso da matriz Hessiana para distinguir mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2y-8,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y+2x.
O sistema
\begin{cases} 3x^{2}+2y-8=0,\\\\ 2y+2x=0 \end{cases}
leva a y=-x. Substituindo na primeira equação:
3x^{2}+2(-x)-8=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-2x-8=0
cuja solução é
x=\frac{2\pm\sqrt{4+96}}{6}=\frac{2\pm10}{6},
logo x=2 e x=-\tfrac{4}{3}, com correspondentes
y=-2 \quad\text{e}\quad y=\tfrac{4}{3}.
Assim, os pontos críticos são (2,-2) e \bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana e o discriminante em cada ponto:
H(x,y) =\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6x & 2\\\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
O discriminante é
D(x)=\det H(x,y)=6x\cdot2-2^{2}=12x-4.
Para classificar, usamos: se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo; se D<0 ponto de sela.

Passo 4

Em (2,-2):
D(2)=12\cdot2-4=20>0, \quad f_{xx}(2,-2)=6\cdot2=12>0,
logo há um mínimo relativo. O valor é
f(2,-2)=2^{3}+(-2)^{2}+2\cdot2\cdot(-2)-8\cdot2 =-12.
Em \bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr):
D\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)=12\cdot\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)-4=-20<0,
portanto é ponto de sela.

Resposta

O ponto (2,-2) é um mínimo relativo com f(2,-2)=-12.
O ponto \bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr) é ponto de sela.

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