Calcule: \lim _{(x, y) \rightarrow(2,3)} \frac{x y-3 x-2 y+6}{x^{2} y-3 x^{2}-4 x y+12 x+4 y-12}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \frac{x y - 3 x - 2 y + 6}{x^{2} y - 3 x^{2} - 4 x y + 12 x + 4 y - 12}.
Temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} em (2,3), então vamos fatorar numerador e denominador para simplificar.

Passo 2

Fatoramos o numerador agrupando termos:
x y - 3 x - 2 y + 6 = x(y - 3) - 2(y - 3) = (x - 2)\,(y - 3).

Passo 3

Fatoramos o denominador observando um padrão quadrático em x:
x^{2} y - 3 x^{2} - 4 x y + 12 x + 4 y - 12 = y(x^{2} - 4x + 4) - 3(x^{2} - 4x + 4) = (y - 3)\,(x - 2)^{2}.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, obtemos para (x,y)\neq(2,3):
\frac{(x - 2)\,(y - 3)}{(y - 3)\,(x - 2)^{2}} = \frac{1}{x - 2}.

Passo 5

Quando (x,y)\to(2,3), a expressão \tfrac{1}{x-2} tende a +\infty se x\to2^+ e a -\infty se x\to2^-. Logo não há um valor finito comum nem um infinito único no limite.

Resposta

O limite não existe (diverge para \pm\infty).

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