Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.
\int_{\pi / 2}^{\pi} \int_{0}^{2 \operatorname{sen} \theta} r d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região cujo área é
\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta}r\,dr\,d\theta
e depois calcular essa área. Vamos usar coordenadas polares, em que a diferencial de área é dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

A fronteira externa da região vem de r=2\sin\theta. Para entender que curva é essa, escrevemos em coordenadas cartesianas:
r=2\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=2r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=2y,
que é uma circunferência de raio 1 centrada em (0,1). Como \theta varia de \pi/2 a \pi, ficamos só com a parte dessa circunferência no segundo quadrante (metade esquerda do disco).

Passo 3

Vamos calcular a área pela própria integral. Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{2\sin\theta}r\,dr =\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{2\sin\theta} =\tfrac{1}{2}(2\sin\theta)^{2} =2\sin^{2}\theta.
Depois integramos em \theta:
\int_{\pi/2}^{\pi}2\sin^{2}\theta\,d\theta =2\int_{\pi/2}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Usando \sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos2\theta), obtemos
2\int_{\pi/2}^{\pi}\tfrac{1}{2}(1-\cos2\theta)\,d\theta =\int_{\pi/2}^{\pi}(1-\cos2\theta)\,d\theta =\Bigl[\theta-\tfrac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]_{\pi/2}^{\pi} =\pi-\tfrac{\pi}{2} =\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Geometricamente, essa área corresponde à metade da área de um círculo de raio 1, ou seja, \tfrac{\pi}{2}, confirmando o resultado da integral.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{\pi}{2}.

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