Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região cujo área é
e depois calcular essa área. Vamos usar coordenadas polares, em que a diferencial de área é
.
Passo 2
A fronteira externa da região vem de
. Para entender que curva é essa, escrevemos em coordenadas cartesianas:
que é uma circunferência de raio
centrada em
. Como
varia de
a
, ficamos só com a parte dessa circunferência no segundo quadrante (metade esquerda do disco).
Passo 3
Vamos calcular a área pela própria integral. Primeiro integramos em
:
Depois integramos em
:
Usando
, obtemos
Passo 4
Geometricamente, essa área corresponde à metade da área de um círculo de raio
, ou seja,
, confirmando o resultado da integral.
Resposta
A área da região é
.