Calcule:
Utilize um integral triplo para determinar o volume do corpo limitado por cone x^{2}+y^{2}=z^{2} e a semiesfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do corpo comum ao interior da semiesfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,\quad z\ge0
e ao interior do cone
x^{2}+y^{2}=z^{2}.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla; vamos usar coordenadas esféricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi).
A semiesfera z\ge0 corresponde a \varphi\in[0,\pi/2].
O cone x^{2}+y^{2}=z^{2} \rho^{2}\sin^{2}\varphi=\rho^{2}\cos^{2}\varphi, ou seja \varphi=\pi/4.
O volume desejado fica então
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\pi/4,\quad 0\le\rho\le3.

Passo 3

O elemento de volume em esféricas é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Logo
V =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{3}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{2}\,d\rho =\biggl[\frac{\rho^{3}}{3}\biggr]_{0}^{3} = \frac{27}{3} =9.
Fica
V =9\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Agora
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/4} =1-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =1-\tfrac{\sqrt2}{2}.
Portanto
V =9\cdot2\pi\cdot\Bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =18\pi\Bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr).

Resposta

V = 18\pi\Bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr).

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