Calcule \iint_{S}(\operatorname{rot} F * n) d S, onde F(x, y, z)=\left(x e^{x}-y, x+\cos (y z)\right., xy) e S = S1 U S2, onde S1 é o paraboloide z=4-2 x^{2}-y^{2} com 0 \leq z \leq 3 e S2 é a porção do plano \mathrm{z}=3 restrita a elipse 2 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1 com normal exterior.

Passo 1

O problema pede o fluxo do rotacional de
F(x,y,z) = \bigl(xe^x - y,\;x + \cos(yz),\;xy\bigr)
através da superfície
S = S_1\cup S_2,
onde
  • S_1 é o paraboloide z = 4 - 2x^2 - y^2 para 0\le z\le3,
  • S_2 é a “tampa” z=3 sobre a elipse 2x^2 + y^2 = 1,
    orientadas com normal exterior.
    O conteúdo principal aqui é usar o Teorema da Divergência aplicado ao campo
    \nabla\times F.

Passo 2

Note que S é uma superfície fechada que envolve o volume V limitado por S_1 e S_2. A orientação “normal exterior” significa que podemos usar
o Teorema da Divergência para o campo
G = \nabla\times F.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot n\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot(\nabla\times F)\,dV.
Mas é um fato vetorial que
\nabla\cdot(\nabla\times F) = 0
para qualquer campo F suficientemente suave. Logo
\iiint_{V} \nabla\cdot(\nabla\times F)\,dV = \iiint_{V} 0\,dV = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados