Calcule \iint_{E} \int e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} d V, onde E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{E} e^{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,dV
na região
E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4,\;z\ge0\}.
Para esse tipo de integral com simetria esférica, o macete é usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definidas por
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\quad e^{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}=e^{r^{3}},
e o elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Como 1\le r^{2}\le4 1\le r\le2 e z\ge0 \varphi\in[0,\pi/2], o integral vira
\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\!\int_{r=1}^{2} e^{r^{3}}\;r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

As integrais angulares se separam:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = 1.
Então sobra só o integral radial
\int_{1}^{2}e^{r^{3}}\,r^{2}\,dr.

Passo 5

Para
\int_{1}^{2}e^{r^{3}}\,r^{2}\,dr
use u=r^{3}, daí du=3r^{2}dr. Logo
\int_{1}^{2}e^{r^{3}}r^{2}\,dr = \frac{1}{3}\int_{u=1}^{8}e^{u}\,du = \frac{1}{3}\bigl(e^{8}-e\bigr).

Passo 6

Juntando com o fator 2\pi das integrais angulares, o resultado final é
2\pi\cdot\frac{1}{3}\bigl(e^{8}-e\bigr) = \frac{2\pi}{3}\bigl(e^{8}-e\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}\bigl(e^{8}-e\bigr)

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