Calcule \int_{D} \int x y d A, onde D é a região delimitada pela reta y=2 x+2 e pela parábola y=x^{2}-6.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \iint_{D} x\,y\,dA, onde D é a região limitada pela reta y=2x+2 e pela parábola y=x^2-6. Vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas, descrevendo D como faixas em y para cada valor de x.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas resolvendo
x^2 - 6 \;=\; 2x + 2.
Isso leva a
x^2 - 2x - 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2\quad\text{ou}\quad x = 4.
Para esses x, a reta fica acima da parábola (por exemplo, em x=0, 2\cdot0+2=2 > -6=x^2-6). Logo
D = \{(x,y)\mid -2\le x\le4,\;x^2-6\le y\le2x+2\}.

Passo 3

Montar a integral iterada em x e y:
\iint_{D} x\,y\,dA =\int_{x=-2}^{4}\!\int_{y=x^2-6}^{2x+2} x\,y\;dy\;dx.

Passo 4

Calcular primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x^2-6}^{2x+2} x\,y\;dy = x\;\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{y=x^2-6}^{2x+2} =\frac{x}{2}\Bigl((2x+2)^2 - (x^2-6)^2\Bigr).

Passo 5

Expandir e simplificar o que está dentro do colchete:
(2x+2)^2 = 4x^2 + 8x + 4, \quad (x^2-6)^2 = x^4 -12x^2 +36,
(2x+2)^2 - (x^2-6)^2 = -\,x^4 +16x^2 +8x -32.
Multiplicando por \tfrac{x}{2} obtemos o integrando em x:
\frac{x}{2}\bigl(-x^4+16x^2+8x-32\bigr) = -\frac{x^5}{2} \;+\;8x^3\;+\;4x^2\;-\;16x.

Passo 6

Agora integramos em x:
\int_{-2}^{4}\Bigl(-\tfrac{x^5}{2}+8x^3+4x^2-16x\Bigr)dx =\Bigl[-\tfrac{x^6}{12}+2x^4+\tfrac{4x^3}{3}-8x^2\Bigr]_{-2}^{4}.

Passo 7

Avaliar nos limites x=4 e x=-2:
\Bigl(-\tfrac{4^6}{12}+2\cdot4^4+\tfrac{4\cdot4^3}{3}-8\cdot4^2\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{(-2)^6}{12}+2\cdot(-2)^4+\tfrac{4\cdot(-2)^3}{3}-8\cdot(-2)^2\Bigr) =128-(-16)=144.

Resposta

144

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