Questão 3. Seja o campo de forças \vec{F}=-x^{2} y \vec{i}+\left(y^{2}+z^{2}\right) \vec{j}+z \vec{k}
(a)(1.0pt) Obtenha o divergente e o rotacional desse campo.
(b)(1.0pt) Seja C_{1} o caminho que percorre a poligonal fechada que une os vértices (0,0,0),(0,4,0), (2,4,0) e ( 2,0,0 ), nessa ordem, de um retângulo no plano z=0. Obtenha o trabalho W_{1}=\oint_{C_{1}} \vec{F} \cdot \vec{T} d s , onde \vec{T} é o vetor tangente unitário ao caminho.
(c)(1.0pt) Seja C_{2} o caminho reto que une os pontos (0,0,0) e ( 0,2,2 ), partindo do primeiro. Obtenha o trabalho W_{2}=\int_{C_{2}} \vec{F} \cdot \vec{T} d s, onde \vec{T} é o vetor tangente unitário ao caminho.
Nessa questão s é o comprimento de arco, o mesmo do formulário, para o qual \vec{T}=\frac{d \vec{r}}{d s}.
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças
\vec F(x,y,z) = -x^{2}y\,\vec i + \bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,\vec j + z\,\vec k
e pede:
(a) o divergente e o rotacional de \vec F;
(b) o trabalho fechado W_{1}=\oint_{C_{1}}\vec F\cdot\vec T\,ds ao redor do retângulo em z=0 com vértices (0,0,0)\to(0,4,0)\to(2,4,0)\to(2,0,0);
(c) o trabalho W_{2}=\int_{C_{2}}\vec F\cdot\vec T\,ds no segmento reto de (0,0,0) a (0,2,2).
Para (a) usamos as definições \nabla\cdot\vec F e \nabla\times\vec F; para (b) aplicamos o Teorema de Green em z=0, observando a orientação; para (c) parametrizamos a curva e integramos.