Questão 3. Seja o campo de forças \vec{F}=-x^{2} y \vec{i}+\left(y^{2}+z^{2}\right) \vec{j}+z \vec{k}
(a)(1.0pt) Obtenha o divergente e o rotacional desse campo.
(b)(1.0pt) Seja C_{1} o caminho que percorre a poligonal fechada que une os vértices (0,0,0),(0,4,0), (2,4,0) e ( 2,0,0 ), nessa ordem, de um retângulo no plano z=0. Obtenha o trabalho W_{1}=\oint_{C_{1}} \vec{F} \cdot \vec{T} d s , onde \vec{T} é o vetor tangente unitário ao caminho.
(c)(1.0pt) Seja C_{2} o caminho reto que une os pontos (0,0,0) e ( 0,2,2 ), partindo do primeiro. Obtenha o trabalho W_{2}=\int_{C_{2}} \vec{F} \cdot \vec{T} d s, onde \vec{T} é o vetor tangente unitário ao caminho.
Nessa questão s é o comprimento de arco, o mesmo do formulário, para o qual \vec{T}=\frac{d \vec{r}}{d s}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
\vec F(x,y,z) = -x^{2}y\,\vec i + \bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,\vec j + z\,\vec k
e pede:
(a) o divergente e o rotacional de \vec F;
(b) o trabalho fechado W_{1}=\oint_{C_{1}}\vec F\cdot\vec T\,ds ao redor do retângulo em z=0 com vértices (0,0,0)\to(0,4,0)\to(2,4,0)\to(2,0,0);
(c) o trabalho W_{2}=\int_{C_{2}}\vec F\cdot\vec T\,ds no segmento reto de (0,0,0) a (0,2,2).
Para (a) usamos as definições \nabla\cdot\vec F e \nabla\times\vec F; para (b) aplicamos o Teorema de Green em z=0, observando a orientação; para (c) parametrizamos a curva e integramos.

Passo 2

Calculando o divergente:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^2y\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^2+z^2\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z\bigr) =-2xy + 2y + 1.

Passo 3

Calculando o rotacional via determinante:
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ -\,x^2y & y^2+z^2 & z \end{vmatrix} = (-2z)\,\vec i + 0\,\vec j + x^2\,\vec k.

Passo 4

Para W_{1} em z=0 temos P(x,y)=-x^2y, Q(x,y)=y^2. A curva C_1 é percorrida no sentido horário, então pelo Teorema de Green:
W_1 =\oint_{C_1}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-x^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=x^2,
e sobre R:[0,2]\times[0,4]:
\iint_{R}x^2\,dA =\Bigl(\int_{0}^{2}x^2\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{4}dy\Bigr) =\frac{8}{3}\times4=\frac{32}{3}.
Portanto
W_{1}=-\frac{32}{3}.

Passo 5

Para W_{2} parametrizamos C_2 por
\vec r(t)=(0,2t,2t),\quad t\in[0,1],
de modo que \vec r'=(0,2,2) e d\vec r=(0,2,2)\,dt. Em cada ponto x=0,\;y=2t,\;z=2t temos
\vec F=(0,8t^2,2t), então
\vec F\cdot d\vec r =(0,8t^2,2t)\cdot(0,2,2)\,dt =(16t^2+4t)\,dt.
Assim
W_{2}=\int_{0}^{1}(16t^2+4t)\,dt =\frac{16}{3}+2 =\frac{22}{3}.

Resposta

(a) \nabla\cdot\vec F=-2xy+2y+1, \nabla\times\vec F=-2z\,\vec i + x^2\,\vec k
(b) W_{1}=-\tfrac{32}{3}
(c) W_{2}=\tfrac{22}{3}

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