Calcule \iint_{S}\langle\vec{F}, \vec{n}\rangle d S, onde \vec{F}(x, y, z)=2 \vec{i}+5 \vec{j}+3 \vec{k} e S é a parte do cone z= \sqrt{x^{2}+y^{2}} interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1, orientada com normal \vec{n} tal que \langle\vec{n}, \vec{k}\rangle<0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\langle\vec{F},\vec{n}\rangle\,dS
do campo constante \vec F=(2,5,3) sobre a parte do cone z=\sqrt{x^2+y^2} para x^2+y^2\le1, com orientação tal que \langle\vec n,\vec k\rangle<0. O conteúdo principal é integral de superfície de um campo vetorial.

Passo 2

Parametrizamos o cone em coordenadas cilíndricas:
\varphi(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr), \quad 0\le r\le1,\; 0\le\theta\le2\pi.
As derivadas são
\phi_r=(\cos\theta,\sin\theta,1), \quad \phi_\theta=(-r\sin\theta,r\cos\theta,0).

Passo 3

O vetor normal não unitário por \phi_r\times\phi_\theta
\phi_r\times\phi_\theta =(-r\cos\theta,\,-r\sin\theta,\;r).
Como sua componente k é positiva (aponta para cima), invertemos sinal para obter a orientação desejada \langle\vec n,\vec k\rangle<0:
\vec N =-\bigl(\phi_r\times\phi_\theta\bigr) =(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;-r).

Passo 4

O diferencial de área vetorial é \vec N\,dr\,d\theta. Logo,
\langle\vec F,\vec N\rangle =2(r\cos\theta)+5(r\sin\theta)-3r =r\bigl(2\cos\theta+5\sin\theta-3\bigr).

Passo 5

Calculamos a integral
\iint_{S}\langle\vec F,\vec n\rangle\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r\bigl(2\cos\theta+5\sin\theta-3\bigr) \,dr\,d\theta.
Os termos em \cos\theta e \sin\theta anulam-se em 0 a 2\pi. Sobrou
-3\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r\,dr\,d\theta =-3\cdot2\pi\cdot\tfrac12 =-3\pi.

Resposta

-3\pi

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