Seja
a parte da esfera
que se encontra acima do plano
com campo normal unitário
tal que
. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo
através de
.
Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da parte superior da esfera
com normal apontando para fora (isto é, com componente em
não negativa). Vamos usar o Teorema da Divergência aplicando-o à superfície fechada formada pela união da hemisfera
e do disco
.
Passo 2
Calcular a divergência de
:\r
Passo 3
O Teorema da Divergência diz\r
onde
é o semiespaço sólido
. Em coordenadas esféricas
temos
e
, logo\r
Passo 4
Agora o fluxo pelo disco
de equação
com normal para fora do volume (isto é,
) é\r
Passo 5
Pela relação\r
\r
temos\r