Seja S a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 que se encontra acima do plano z=0 com campo normal unitário \vec{n} tal que \langle\vec{n}, \vec{k}\rangle \geq 0. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=\left(x y^{2}+e^{y}\right) \vec{i}+\left(y z^{2}+\operatorname{sen}^{2} x\right) \vec{j}+\left(z x^{2}+5\right) \vec{k} através de S.
Resp.: \frac{164 \pi}{5}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z)=(x y^{2}+e^{y})\vec i+(y z^{2}+\sin^{2}x)\vec j+(z x^{2}+5)\vec k através da parte superior da esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com normal apontando para fora (isto é, com componente em z não negativa). Vamos usar o Teorema da Divergência aplicando-o à superfície fechada formada pela união da hemisfera S e do disco D\colon z=0,\;x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec F:\r
\nabla\!\cdot\vec F=\frac{\p}{\p x}(x y^{2}+e^{y})+\frac{\p}{\p y}(y z^{2}+\sin^{2}x)+\frac{\p}{\p z}(z x^{2}+5)=y^{2}+z^{2}+x^{2}.

Passo 3

O Teorema da Divergência diz\r
\iint_{S\cup D}\vec F\cdot\vec n\,dS=\iiint_{V}(\nabla\!\cdot\vec F)\,dV\r
onde V é o semiespaço sólido x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1,\;z\ge0. Em coordenadas esféricas r\le1,\;\varphi\in[0,\pi/2],\;\theta\in[0,2\pi] temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta, logo\r
\iiint_{V}r^{2}\,dV=\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\int_{0}^{\pi/2}\!\sin\varphi\,d\varphi\int_{0}^{1}r^{4}dr\r =2\pi\cdot1\cdot\frac{1}{5}=\frac{2\pi}{5}.

Passo 4

Agora o fluxo pelo disco D de equação z=0 com normal para fora do volume (isto é, \vec n=-\vec k) é\r
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS=\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}-(z x^{2}+5)\big|_{z=0}\,dA\r =\iint_{D}(-5)\,dA=-5\cdot\pi\,(1)^{2}=-5\pi.

Passo 5

Pela relação\r
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS+\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS\r =\iiint_{V}(\nabla\!\cdot\vec F)\,dV,\r
temos\r
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS=\frac{2\pi}{5}-\bigl(-5\pi\bigr)\r =\frac{2\pi}{5}+5\pi=\frac{2\pi+25\pi}{5}=\frac{27\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{27\pi}{5}

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