Seja S a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=4, com 0 \leq z \leq 5, delimitada pelos semiplanos y=x e y=2 x, \operatorname{com} x \geq 0.
(a) Parametrize S .
(b) Calcule a área de S .

Passo 1

O enunciado pede (a) a parametrização e (b) a área da parte do cilindro
x^{2}+y^{2}=4
com 0\le z\le5, limitada pelos semiplanos y=x e y=2x em x\ge0.
Para isso vamos usar coordenadas cilíndricas fixas em r=2, onde o ângulo \theta varia entre as retas dadas e z varia de 0 a 5.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros \theta (ângulo no plano xy) e z.
Nesse cilindro de raio 2, uma parametrização natural é
\mathbf r(\theta,z) = \bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\bigr).
Para que y=x corresponda a \theta=\pi/4 e y=2x a \theta=\arctan(2), e garantindo x\ge0, tomamos
\theta\in\bigl[\tfrac\pi4,\;\arctan(2)\bigr],\qquad z\in[0,5].

Passo 3

Para calcular a área usamos a fórmula do elemento de superfície
dS = \bigl\|\partial_{\theta}\mathbf r\times\partial_{z}\mathbf r\bigr\|\,d\theta\,dz.
Calculando
\partial_{\theta}\mathbf r = (-2\sin\theta,\;2\cos\theta,\;0), \quad \partial_{z}\mathbf r = (0,\,0,\,1),
o produto vetorial tem norma
\bigl\|\partial_{\theta}\mathbf r\times\partial_{z}\mathbf r\bigr\| = \bigl\|(-2\sin\theta,2\cos\theta,0)\times(0,0,1)\bigr\| = 2.
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dS = 2\,d\theta\,dz.

Passo 4

Integramos sobre o domínio de \theta e z:
\text{Área}(S) = \int_{\theta=\pi/4}^{\arctan(2)}\!\int_{z=0}^{5}2\,dz\,d\theta = 2\cdot5\;\bigl(\arctan(2)-\tfrac\pi4\bigr) =10\bigl(\arctan(2)-\tfrac\pi4\bigr).Á

Resposta

a) Uma parametrização é
\mathbf r(\theta,z) = \bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\bigr), \quad \theta\in\bigl[\tfrac\pi4,\;\arctan(2)\bigr],\; z\in[0,5].
b) A área é
\boxed{\,10\bigl(\arctan(2)-\tfrac\pi4\bigr)\,}.

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