Nos problemas 1-4, calcule o gradiente para a função dada.
f(x, y)=x^{2}-x^{3} y^{2}+y^{4}

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y) = x^{2} - x^{3}y^{2} + y^{4}
O conceito envolvido é o de derivadas parciais e o vetor gradiente. Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y e, em seguida, formar o vetor gradiente.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x, isto é, \frac{\partial f}{\partial x}. Tratamos y como constante e derivamos cada termo:
  • \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x
  • \frac{\partial}{\partial x}(-x^3y^2) = -3x^2y^2
  • \frac{\partial}{\partial x}(y^4) = 0
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 3x^2y^2.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y, isto é, \frac{\partial f}{\partial y}. Tratamos x como constante:
  • \frac{\partial}{\partial y}(x^2) = 0
  • \frac{\partial}{\partial y}(-x^3y^2) = -2x^3y
  • \frac{\partial}{\partial y}(y^4) = 4y^3
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} = -2x^3y + 4y^3.

Passo 4

Juntando as duas derivadas parciais, o vetor gradiente de f é
\nabla f(x,y) = \bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\,\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr) = \bigl(2x - 3x^2y^2,\,-2x^3y + 4y^3\bigr).

Resposta

\nabla f(x,y) = \bigl(2x - 3x^2y^2,\,-2x^3y + 4y^3\bigr).

Exercícios relacionados