Seja a superfície S parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que se encontra dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2 y, fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima do plano x y.
(a) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Calcule a área de S .
Passo 1
O enunciado descreve a superfície S que é a parte superior do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2},
ou seja z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, contida entre os cilindros
x^{2}+y^{2}=1 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=2y
e acima do plano z=0.
Conteúdo: parametrização de superfícies e cálculo de área usando produto vetorial das derivadas parciais.
Passo 2
Parametrização em coordenadas cartesianas. Basta usar como parâmetros u=x e v=y. Definimos