Seja a superfície S parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que se encontra dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2 y, fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima do plano x y.
(a) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Calcule a área de S .

Passo 1

O enunciado descreve a superfície S que é a parte superior do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2},
ou seja z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, contida entre os cilindros
x^{2}+y^{2}=1 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=2y
e acima do plano z=0.
Conteúdo: parametrização de superfícies e cálculo de área usando produto vetorial das derivadas parciais.

Passo 2

Parametrização em coordenadas cartesianas. Basta usar como parâmetros u=x e v=y. Definimos
\mathbf r(u,v)=\bigl(u,\;v,\;\sqrt{u^{2}+v^{2}}\bigr),
com domínio
D=\bigl\{(u,v)\mid 1\le u^{2}+v^{2}\le 2v\bigr\}.

Passo 3

Parametrização em coordenadas polares. Como no cone z=r, usamos
\mathbf R(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr),
onde o domínio em (r,\theta) vem de
1\le r\le 2\sin\theta, \quad \pi/6\le\theta\le 5\pi/6.

Passo 4

Cálculo da área via produto vetorial.
As derivadas parciais são
\mathbf R_{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \quad \mathbf R_{\theta}=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0),
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\mathbf R_{r}\times\mathbf R_{\theta} =\bigl(-r\cos\theta,\,-r\sin\theta,\;r\bigr),
e
\bigl\lVert\mathbf R_{r}\times\mathbf R_{\theta}\bigr\rVert =\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta+r^{2}} =r\sqrt{2}.
Assim a área é
A=\int_{\theta=\pi/6}^{5\pi/6}\int_{r=1}^{2\sin\theta}r\sqrt{2}\,dr\,d\theta =\sqrt{2}\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2\sin\theta}d\theta.
Como (2\sin\theta)^{2}-1=4\sin^{2}\theta-1=1-2\cos2\theta,
A=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\bigl(1-2\cos2\theta\bigr)d\theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigl[\theta-\sin2\theta\Bigr]_{\pi/6}^{5\pi/6} =\frac{\pi\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}.

Resposta

\boxed{A=\frac{\pi\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}.}

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