Calcule
\iint_{\mathrm{R}} f(x, y) d \mathrm{~A}
sendo dados:
f(x, y)=y
e R é o triângulo de vértices
(0,0),(1,0) \mathrm{e}(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}f(x,y)\,dA
onde f(x,y)=y e R é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,1). O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas, definindo limites adequados para x e y.

Passo 2

Para descre­ver a região R, note que ela é limitada por três retas:
y=0 (base no eixo x),
x=1 (lado vertical),
y=x (hipotenusa).
Podemos integrar primeiro em x e depois em y. Nesse caso, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de x=y até x=1.

Passo 3

Montamos a integral na ordem dx\,dy:
\iint_{R}y\,dA = \int_{y=0}^{1}\!\Bigl(\int_{x=y}^{1}y\,dx\Bigr)\,dy.

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
\int_{x=y}^{1}y\,dx = y\bigl[x\bigr]_{x=y}^{x=1} = y\,(1-y).

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}\bigl(y - y^{2}\bigr)\,dy = \biggl[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\biggr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

Exercícios relacionados