Calcule
\int_{1}^{4} \int_{-1}^{2}\left(2 x+6 x^{2} y\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{y=1}^{4}\int_{x=-1}^{2}\bigl(2x+6x^{2}y\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo é integração de funções polinomiais em duas variáveis, que são contínuas no retângulo [x,y]\in[-1,2]\times[1,4]. Podemos usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração ou, como dado, integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em x:
\int_{x=-1}^{2}\bigl(2x+6x^{2}y\bigr)\,dx.
Como y é constante nessa etapa, separamos termos:
\int(2x)\,dx = x^{2}, \quad \int(6x^{2}y)\,dx = 6y\int x^{2}\,dx = 6y\cdot\frac{x^{3}}{3}=2yx^{3}.
Logo, um antiderivado geral é
x^{2}+2yx^{3}.

Passo 3

Avaliamo-lo de x=-1 a x=2:
\bigl[x^{2}+2yx^{3}\bigr]_{-1}^{2} = \bigl(2^{2}+2y\cdot2^{3}\bigr) - \bigl((-1)^{2}+2y\cdot(-1)^{3}\bigr).
Calculemos cada parte:
2^{2}+2y\cdot2^{3}=4+16y, \quad (-1)^{2}+2y\cdot(-1)^{3}=1-2y.
A diferença é
(4+16y)-(1-2y)=3+18y.
Portanto a integral interna vale 3+18y.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{y=1}^{4}(3+18y)\,dy.
Separamos de novo:
\int3\,dy = 3y, \quad \int18y\,dy = 18\cdot\frac{y^{2}}{2}=9y^{2}.
Um antiderivado é 3y+9y^{2}.

Passo 5

Avaliamo-lo de y=1 a y=4:
\bigl[3y+9y^{2}\bigr]_{1}^{4} = \bigl(3\cdot4+9\cdot4^{2}\bigr) - \bigl(3\cdot1+9\cdot1^{2}\bigr).
Isso dá
(12+144)-(3+9)=156-12=144.

Resposta

144

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