Determine o valor dos limites, quando existir:
\lim _{x \rightarrow 5^{+}} \frac{x-12}{x^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to5^+}\frac{x-12}{x^2-25}
quando x se aproxima de 5 pela direita. O conteúdo envolve limites de funções racionais e análise de sinal e comportamento assintótico.

Passo 2

Fatoramos o denominador para simplificar a análise:
x^2 - 25 = (x-5)(x+5).
Logo, a função fica
\frac{x-12}{x^2-25} \;=\;\frac{x-12}{(x-5)(x+5)}.

Passo 3

Analisamos o comportamento de cada fator quando x\to5^+:
  • O numerador tende a 5-12=-7, ou seja, é aproximadamente constante e negativo.
  • O fator (x+5) tende a 10, positivo e afastado de zero.
  • O fator (x-5) tende a zero pelo lado positivo, pois x>5.
Portanto, o denominador (x-5)(x+5) tende a zero positivo, e o quociente tende a
\frac{\text{constante negativa}}{\text{pequeno positivo}} \;=\; -\infty.

Resposta

\lim_{x\to5^+}\frac{x-12}{x^2-25} = -\infty.

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